ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑ MAXWELL-BOLTZMANN (ΜΑΞΓΟΥΕΛ - ΜΠΟΛΤΣΜΑΝ)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑ MAXWELL-BOLTZMANN (ΜΑΞΓΟΥΕΛ- ΜΠΟΛΤΣΜΑΝ)

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑ MAXWELL-BOLTZMANN (ΜΑΞΓΟΥΕΛ-ΜΠΟΛΤΣΜΑΝ)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Οι Maxwell και Boltzmann γύρω στο 1860,πολύ πριν γίνει εφικτό να μετρηθούν πειραματικά οι ταχύτητες των μορίων,υπολόγισαν θεωρητικά πώς κατανέμονται τα μόρια ενός αερίου στις διάφορες ταχύτητες.
 Στο παρακάτω σχήμα παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση dN/dυ=f(υ) των Maxwell και Boltzmann για  Ν=10⁵ μόρια αζώτου στις θερμοκρασίες 300 Κ και 900 Κ.

Παριστάνεται γραφικά η συνάρτηση dN/dυ=f(υ) των Maxwell και Boltzmann για  Ν=10⁵ μόρια αζώτου στις θερμοκρασίες 300 Κ και 900 Κ

 Οι ταχύτητες καλύπτουν ευρεία περιοχή.Η συνάρτηση dN/dυ τείνει στο μηδέν όταν υ→0 και όταν υ→∞.Η ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης είναι η πιο πιθανή ταχύτητα και συμβολίζεται με υx.

 Δύο άλλες ταχύτητες που παρουσιάζουν ενδιαφέρον είναι η μέση ταχύτητα και η ενεργός ταχύτητα υεν.

ΜΕΣΗ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ ΤΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

 Η μέση ταχύτητα είναι η μέση τιμή των ταχυτήτων των μορίων του αερίου.Δηλαδή αν οι ταχύτητες των μορίων είναι υ1,υ2,... και ο αριθμός των μορίων Ν:

 Η ενεργός ταχύτητα είναι:

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΤΑ MAXWELL-BOLTZMANN (ΜΑΞΓΟΥΕΛ-ΜΠΟΛΤΣΜΑΝ) 

 Συχνά,σε διάφορες κατανομές,η μέση τιμή ενός μεγέθους ταυτίζεται με την πιθανότερη τιμή του μεγέθους.Στην κατανομή Maxwell-Boltzmann η είναι μεγαλύτερη της υπ γιατί προβλέπονται μόρια, έστω και λίγα, με πολύ μεγάλες ταχύτητες (δεν υπάρχει άνω όριο στις ταχύτητες των μορίων).Όσον αφορά τη υεν αποδεικνύεται μαθηματικά ότι η ενεργός τιμή είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή. Έτσι μεταξύ των τριών ταχυτήτων που προαναφέραμε ισχύει υπ<<υεν.

Ο Ludwig Eduard Boltzmann (20 Φεβρουαρίου 1844-5,Σεπτεμβρίου,1906) ήταν ένας Αυστριακός φυσικός του οποίου το μεγαλύτερο επίτευγμα ήταν η ανάπτυξη της στατιστικής μηχανικής,γεγονός που εξηγεί και προβλέπει πως οι ιδιότητες των ατόμων (όπως η μάζα,φορτίο,και τη δομή) καθορίζει τις ορατές ιδιότητες της ύλης,όπως το ιξώδες,η θερμική αγωγιμότητα,και η διάχυση

  Αν το τμήμα που έχει κίτρινο χρώμα μπορεί να θεωρηθεί παραλληλόγραμμο και μπορεί να θεωρηθεί αν το dυ είναι απειροστά μικρό-τότε το εμβαδόν του είναι: 

                                                                                   dυ×dN/dυ=dN 

δηλαδή δίνει τον αριθμό dN των μορίων που έχουν ταχύτητες από υ έως υ+dυ.
 Το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη και τον άξονα των υ δίνει το συνολικό αριθμό των μορίων του αερίου.

Ενεργειακή κατανομή μορίων σε δύο διαφορετικές θερμοκρασίες.Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν αντιπροσωπεύει τον αριθμό των μορίων που έχουν ενέργεια μεγαλύτερη της ενέργειας ενεργοποίησης

 Βλέπουμε ότι όταν η θερμοκρασία του αερίου αυξάνεται η καμπύλη μετατοπίζεται προς τα δεξιά και η κορυφή της χαμηλώνει.Αυτό συμβαίνει γιατί όσο αυξάνεται η θερμοκρασία ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητα μεγαλύτερη από μία δεδομένη τιμή αυξάνεται,η μετατόπιση όμως της καμπύλης δεξιότερα διευρύνει την βάση της και,καθώς το εμβαδόν που περικλείει παραμένει αμετάβλητο (συνολικός αριθμός μορίων),η κορυφή της χαμηλώνει.

ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΥΔΡΟΓΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΥΔΡΟΓΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ΤΗΣ ΓΗΣ

 Η κινητική θεωρία των αερίων μας επιτρέπει να εξηγήσουμε γιατί δεν υπάρχει υδρογόνο στην ατμόσφαιρα της Γης,στην οποία δεσπόζουν το οξυγόνο και το άζωτο.
 Η ερμηνεία σχετίζεται με την ταχύτητα διαφυγής από τη Γη.

Εάν το σώμα βληθεί με ταχύτητα μικρότερη από την ταχύτητα διαφυγής επιστρέφει στην επιφάνεια της Γης

 Όταν ένα σώμα βάλλεται από ένα σημείο της επιφάνειας της Γης με αρχική ταχύτητα υ0 κάνει ευθύγραμμη ή καμπυλόγραμμη κίνηση και επιστρέφει σε αυτή.Δεν θα επέστρεφε στη Γη μόνο αν η αρχική του ταχύτητα  έπαιρνε την τιμή 11,2 km/s.Αυτή την ταχύτητα τη λέμε ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της Γης.Στο ύψος των 600 km,στα όρια δηλαδή της ατμόσφαιρας της Γης η ταχύτητα διαφυγής έχει τιμή 10,8 km/s .

Υπάρχει μεγάλος αριθμός μορίων υδρογόνου τα οποία έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα διαφυγής

 Η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας στο ύψος αυτό είναι περίπου 1500 Κ.Στη θερμοκρασία αυτή,όπως προκύπτει από τη σχέση  τα μόρια του οξυγόνου θα είχαν ενεργό ταχύτητα 1,1 km/s και τα μόρια του υδρογόνου ενεργό ταχύτητα  4,4 km/s.

Εάν το σώμα βληθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη ή ίση από την ταχύτητα διαφυγής και η κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας είναι κατάλληλη, τότε διαφεύγει οριστικά στο διάστημα

 Ας υποθέσουμε ότι σ’ αυτό το ύψος βρίσκεται μια ποσότητα Ν μορίων οξυγόνου και Ν μορίων υδρογόνου.Από το διάγραμμα της κατανομής των ταχυτήτων κατά Maxwell-Boltzmann,για τα δύο αέρια προκύπτει ότι,πρακτικά,κανένα μόριο του οξυγόνου δεν έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα διαφυγής και έτσι όλη η ποσότητα του οξυγόνου παραμένει στη γήινη ατμόσφαιρα.Αντίθετα,υπάρχει μεγάλος αριθμός μορίων υδρογόνου τα οποία έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από την ταχύτητα διαφυγής.Φυσικά δε διαφεύγουν όλα αυτά τα μόρια.Διαφεύγουν μόνο εκείνα που η ταχύτητά τους έχει τον κατάλληλο προσανατολισμό,με την προϋπόθεση ότι δε συγκρούονται με άλλα μόρια.

Από το διάγραμμα της κατανομής των ταχυτήτων κατά Maxwell- Boltzmann,για τα δύο αέρια προκύπτει ότι,πρακτικά,κανένα μόριο του οξυγόνου δεν έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα διαφυγής και έτσι όλη η ποσότητα του οξυγόνου παραμένει στη γήινη ατμόσφαιρα

 Στο διάστημα των 4x10⁹ ετών που πέρασαν από τότε που δημιουργήθηκε το πλανητικό μας σύστημα,το υδρογόνο που υπήρχε αρχικά,διαχεόμενο στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας,διέφυγε σιγά-σιγά από το βαρυτικό πεδίο.

Παρατήρηση:

 Με τον ίδιο τρόπο εξηγείται γιατί η Σελήνη-στην οποία η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια είναι 2,37 km/s-δεν έχει καθόλου ατμόσφαιρα και γιατί στον Άρη (ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια 4,97 km/s) η ατμόσφαιρα είναι πολύ αραιή.