PHYSIC LESSONS: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS (ΓΚΑΟΥΣ)

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS (ΓΚΑΟΥΣ)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο νόμος αυτός συνδέει την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια με το φορτίο που περικλείει η επιφάνεια.

Ο Νόμος του Γκάους συνδέει την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια με το φορτίο που περικλείει η επιφάνεια

Στη φυσική και στη μαθηματική ανάλυση,ο Νόμος του Γκάους είναι η εφαρμογή του γενικευμένου θεωρήματος της απόκλισης στην ηλεκτροστατική,δίνοντας την σχέση ισοδυναμίας μεταξύ μιας οποιαδήποτε ροής,όπως ενός υγρού,της ηλεκτρικής ή της βαρυτικής,που ρέει έξω από μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια και το αποτέλεσμα των εσωτερικών πηγών,όπως το ηλεκτρικό φορτίο ή η μάζα,που περιέχονται στον όγκο που περικλείει η επιφάνεια.

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Έστω ένα σημειακό θετικό φορτίο q.Ας φανταστούμε μια σφαίρα ακτίνας r,όπως στο παρακάτω σχήμα,που έχει κέντρο το σημείο στο οποίο βρίσκεται το φορτίο.Θα υπολογίσουμε την ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την σφαίρα.

Το σημειακό φορτίο q βρίσκεται στο κέντρο σφαίρας ακτίνας

Γνωρίζουμε ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια της σφαίρας έχει μέτρο:

E=K_c·q/r²=1/4πε0·q/r²

Χωρίζουμε την επιφάνεια της σφαίρας σε στοιχειώδη τμήματα ΔΑ,τόσο μικρά ώστε το καθένα από αυτά να μπορεί να θεωρηθεί επίπεδο.

Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου που δημιουργεί το q τέμνουν κάθετα κάθε στοιχειώδη επιφάνεια ΔΑ και το κάθετο διάνυσμα ΔΑ σε κάθε τέτοια επιφάνεια είναι παράλληλο με τις δυναμικές γραμμές.Η ολική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια της σφαίρας είναι:

ΦΕ=ΣEi·ΔΑi·συνθi=ΣE·ΔΑ=E·ΣΔΑ

Ο όρος ΣΔΑ δίνει το εμβαδόν της σφαιρικής επιφάνειας που είναι ίσο με 4π·r².

Από τις τελευταίες σχέσεις παίρνουμε:

ΦΕ=1/4π·ε0·q/r²·4π·r²=q/ε0

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι η ηλεκτρική ροή (ΦΕ) είναι ανεξάρτητη της ακτίνας r της σφαίρας που επιλέξαμε.Αυτό είναι λογικό γιατί,το πλήθος των δυναμικών γραμμών που περνά από οποιαδήποτε σφαιρική επιφάνεια με κέντρο το φορτίο είναι ίδιο ανεξάρτητα από την ακτίνα της.Στην πραγματικότητα η επιφάνεια δεν χρειάζεται να είναι σφαιρική.

H ηλεκτρική ροή που διέρχεται από τις δύο επιφάνειες είναι ίδια

Από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, που περικλείει το φορτίο q,θα περνάει ίδιος αριθμός δυναμικών γραμμών.Επομένως,η ηλεκτρική ροή για κάθε κλειστή επιφάνεια που περικλείει το φορτίο q είναι ίση με αυτή που βρήκαμε για τη σφαίρα,δηλαδή:

ΦΕ=q/ε0

Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε γενικεύεται και στην περίπτωση που έχουμε πολλά σημειακά φορτία,ή φορτισμένα σώματα.Με την αρχή της επαλληλίας αποδεικνύεται ότι η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ίση με Qεγκ/εο όπου Qεγκ το φορτίο που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια.Η παραπάνω πρόταση αποτελεί το νόμο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο.
Σύμφωνα με αυτόν:

Η ηλεκτρική ροή που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια ισούται με το πηλίκο του ολικού φορτίου που περικλείει η επιφάνεια,προς τη σταθερά εο.

ΦΕ=Qεγκ/ε0

Η κλειστή επιφάνεια που επιλέγουμε για να εφαρμόσουμε το νόμο του Gauss ονομάζεται επιφάνεια Gauss.

Το φορτίο q βρίσκεται έξω από την επιφάνεια.Οι δυναμικές γραμμές του πεδίου που δημιουργεί και εισέρχονται σ’ αυτή εξέρχονται από κάποιο άλλο σημείο απ’ αυτή.Η συνολική ηλεκτρική ροή που περνάει από την επιφάνεια είναι ίση με μηδέν

Κατά την εφαρμογή του νόμου του Gauss πρέπει να είμαστε προσεκτικοί.Ενώ το φορτίο Qεγκ στη σχέση είναι το φορτίο που βρίσκεται μέσα στην επιφάνεια Gauss,το Ε είναι το ολικό ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται τόσο σε φορτία που βρίσκονται μέσα στην επιφάνεια όσο και σε φορτία που βρίσκονται έξω από αυτήν.

Ο Γιόχαν Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauss, στη γερμανική συνήθως γράφεται ως Gauß) (30 Απριλίου 1777–23 Φεβρουαρίου 1855) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σε πολλά ερευνητικά πεδία της επιστήμης του,όπως η θεωρία αριθμών,η στατιστική,η μαθηματική ανάλυση, η διαφορική γεωμετρία,αλλά και συναφών επιστημών,όπως η γεωδαισία,η αστρονομία και η φυσική

Ο νόμος του Gauss είναι θεμελιώδους σημασίας στην ηλεκτροστατική.Η σημασία του είναι ανάλογη με αυτήν του νόμου του Coulomb.Στην πραγματικότητα ο νόμος του Gauss και ο νόμος του Coulomb δεν είναι δυο ανεξάρτητοι φυσικοί νόμοι,αλλά ο ίδιος νόμος που εκφράζεται με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Στη συνέχεια θα δούμε ότι ο νόμος του Gauss δίνει εύκολα την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε περιπτώσεις όπου έχουμε συμμετρική κατανομή φορτίου.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss

Στην ολοκληρωτική του μορφή,ο νόμος λέει:

$\Phi = \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = {1 \over \varepsilon_o} \int_V \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_o}$

όπου:

Φ η ηλεκτρική ροή,

Ε το ηλεκτρικό πεδίο,

dA η απειροστή περιοχή της κλειστής επιφάνειας S,

QA το φορτίο που περικλείει η επιφάνεια,

ρ η ηλεκτρική πυκνότητα σε ένα σημείο του όγκου ,

ε0 η ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού χώρου και

$\oint_S$ είναι το ολοκλήρωμα πάνω στην κλειστή επιφάνεια S,που περικλείει τον όγκο V.

ΔΙΑΦΟΡΙΚH ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

Σε διαφορική μορφή,η εξίσωση γίνεται:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

όπου:

$\mathbf{\nabla}$ το ανάδελτα,

D το ηλεκτρικό πεδίο μετατόπισης (σε μονάδες C/m²),και

ρfree η ελεύθερη πυκνότητα ηλεκτρικών φορτίων (σε μονάδες C/m³),που δε συμπεριλαμβάνει τα δέσμια διπολικά φορτία σε ένα υλικό.
Για γραμμικά υλικά,η εξίσωση γίνεται:

\mathbf{\nabla} \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho_{\mathrm{free}}

όπου:

ε είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα.

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΚΟΥΛΟΜΠ

Στην ειδική περίπτωση μιας σφαιρικής επιφάνειας με φορτίο στο κέντρο της,το ηλεκτρικό πεδίο είναι παντού κάθετο στην επιφάνεια,με το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία αυτής,δίνοντας την απλή έκφραση:

E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}

όπου:

E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ακτίνα r,

Q το ηλεκτρικό φορτίο,και

ε0 η επιδεκτικότητα του κενού χώρου.

Δηλαδή η εξάρτηση του αντίστροφου τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου στο Νόμο του Κουλόμπ,προκύπτει από το νόμο του Γκάους.

Η εξάρτηση του αντίστροφου τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου στο Νόμο του Κουλόμπ,προκύπτει από το νόμο του Γκάους

Ο νόμος του Γκάους μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο μέσα σε μια περιοχή όπου απουσιάζουν ηλεκτρικά φορτία.Ο νόμος του Γκάους είναι το ηλεκτροστατικό ισοδύναμο του νόμου του Αμπέρ,που έχει να κάνει με τον μαγνητισμό.Και οι δύο αυτές εξισώσεις ενσωματώθηκαν αργότερα στις εξισώσεις του Μάξουελ.

Ο νόμος φτιάχτηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1835,αλλά δε δημοσιεύτηκε μέχρι το 1867.Εξ αιτίας της μαθηματικής ομοιότητας,ο νόμος του Γκάους έχει εφαρμογές και σε άλλες φυσικές ποσότητες,όπως η βαρύτητα ή η ένταση της ακτινοβολίας.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ GAUSS

Όπως είπαμε,με το νόμο του Gauss μπορούμε να υπολογίσουμε εύκολα την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε περιπτώσεις που το ηλεκτρικό φορτίο κατανέμεται συμμετρικά.Στις περιπτώσεις αυτές επιλέγουμε μια επιφάνεια που έχει την ίδια συμμετρία με εκείνη της κατανομής του φορτίου.
Στη στατική περίπτωση ενός μαγνήτη,ή άλλη κατάσταση όπου η πηγή του μαγνητικού πεδίου βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με τον παρατηρητή,η ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Γκάους μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την αναλογία της ροής με τον αριθμό των δυναμικών γραμμών του πεδίου που εισέρχονται και εξέρχονται από μια Γκαουσιανή επιφάνεια.

Ορισμός κλειστής επιφάνειας.Αριστερά:Μερικά παραδείγματα των κλειστών επιφανειών περιλαμβάνουν την επιφάνεια μιας σφαίρας,την επιφάνεια ενός τόρου,και η επιφάνεια του κύβου.Η μαγνητική ροή μέσω οποιασδήποτε από αυτές τις επιφάνειες είναι μηδέν.Δεξιά:Μερικά παραδείγματα των μη κλειστών επιφανειών περιλαμβάνουν την επιφάνεια του δίσκου,τετράγωνο επιφάνεια ή επιφάνεια ημισφαίριο.Όλα έχουν όρια (κόκκινες γραμμές) και ότι δεν περικλείει πλήρως έναν όγκο 3D.Η μαγνητική ροή μέσα από αυτές τις επιφάνειες δεν είναι απαραίτητα μηδέν.

Χρησιμοποιώντας ένα τέτοιο επιχείρημα,μπορεί να δειχθεί πως σε όλες τις στατικές περιπτώσεις, η συνολική μαγνητική ροή είναι μηδενική.Όσες δυναμικές γραμμές εισέρχονται μια Γκαουσιανή επιφάνεια,άλλες τόσες εξέρχονται από αυτήν,οπότε δεν περικλείεται κάποια "πηγή" του μαγνητικού πεδίου.

$\Phi_B = \oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0$

Η διαφορική μορφή αυτής της εξίσωσης,αποτελεί και μία από τις τέσσερις Εξισώσεις Μάξουελ,που είναι συνέπεια της μη ύπαρξης μαγνητικών μονοπόλων στη φύση.

Αν και η βαρυτική μορφή του νόμου του Γκάους έχει περισσότερο θεωρητικό ενδιαφέρον,μπορεί να εφαρμοστεί σε αναλογία με την ηλεκτροστατική μορφή του νόμου του Γκάους για να δειχθεί ότι η βαρυτική δύναμη ενός σώματος σε ένα άλλο μπορεί να υπολογιστεί όπως στην περίπτωση όπου και οι δύο μάζες θα ήταν συγκεντρωμένες στα κέντρα των σωμάτων.

$\Phi_g = \oint_S \mathbf{g} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 4 \pi G \int_V \rho_m\ \mathrm{d}V = 4 \pi GM$

Εφαρμόζοντας την παραπάνω μορφή του νόμου του Γκάους για να αποδείξουμε,για παράδειγμα,ότι η δύναμη που ασκεί η Γη στη Σελήνη δεν εξαρτάται από τη λεπτομερή σύσταση της Γης,εμπερικλείουμε τη Γη σε μια σφαιρική Γκαουσιανή επιφάνεια,με εμβαδόν .

Από τι στιγμή που οι δυναμικές γραμμές της Γης επεκτείνονται ισοδύναμα σε όλες τις κατευθύνσεις και μειώνονται ως,το βαρυτικό πεδίο πρέπει να είναι σταθερό για δεδομένη ακτίνα.

$\mathbf{g} \oint_S \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 4 \pi GM$