Η ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

Η ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

Η ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Κατά τη διάρκεια της κρούσης εμφανίζονται δυνάμεις μεγάλου μέτρου.Αυτές οι δυνάμεις προκαλούν τις αλλαγές στην ταχύτητα και την ορμή των σωμάτων που συγκρούονται.Άρα πρέπει να βρούμε μια σχέση μεταξύ δύναμης και ορμής.

Αν σ' ένα σώμα μάζας m ασκήσουμε δύναμη F,το σώμα θ' αποκτήσει επιτάχυνση α,της οποίας το μέτρο,η διεύθυνση και η φορά καθορίζονται από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής

 Γνωρίζουμε ότι,αν σ' ένα σώμα μάζας m ασκήσουμε δύναμη F,το σώμα θ' αποκτήσει επιτάχυνση α,της οποίας το μέτρο,η διεύθυνση και η φορά καθορίζονται από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής.

                                                                                        F→=m·α→                                    

 Ο νόμος αυτός,που είναι γνωστός και ως δεύτερος νόμος του Νεύτωνα,δε διατυπώθηκε αρχικά με τη μορφή αυτή.

Το λατινικό κείμενο του έργου του Νεύτωνα <<Principia>>

 Μια ελεύθερη μετάφραση της αρχικής διατύπωσης από τον Νεύτωνα,όπως υπάρχει στο λατινικό κείμενο του έργου του <<Principia>>,είναι η εξής:

<<Η μεταβολή της ποσότητας της κίνησης ενός σώματος είναι ανάλογη της εφαρμοζόμενης δύναμης και συμβαίνει κατά τη διεύθυνση της δύναμης...Η ποσότητα της κίνησης είναι ανάλογη της μάζας του σώματος και της ταχύτητας του>>

 Από τον ορισμό της <<ποσότητας κίνησης >> μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο Νεύτωνας χρησιμοποίησε αυτόν τον όρο για το μέγεθος που εμείς σήμερα ονομάζουμε ορμή.Επίσης από τα γραπτά του προκύπτει ότι η έκφραση <<εφαρμοζόμενη δύναμη>> αναφέρεται στη συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα και η <<μεταβολή>> σημαίνει ρυθμός μεταβολής.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΤOY ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

 Έτσι με σημερινή ορολογία η πρόταση του Νεύτωνα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

 Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ανάλογος της συνολικής δύναμης που εφαρμόζεται σ' αυτό και η μεταβολή γίνεται κατά την κατεύθυνση της δύναμης.

 Η πρόταση αυτή είναι μια γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της μηχανικής και μαθηματικά αποδίδεται από την εξίσωση:

                                                                                       F→=Δp →Δt                                                                                      

                                                                            

όπου:
Δp η μεταβολή στην ορμή του σώματος που συμβαίνει στο χρονικό διάστημα Δt.
F η συνισταμένη δύναμη που την προκαλούν.
Δt το χρονικό διάστημα που έγινε η μεταβολή της ορμής.
 Η τελευταία σχέση σχέση ονομάζεται ρυθμός μεταβολής της ορμής.

Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ανάλογος της συνολικής δύναμης που εφαρμόζεται σ' αυτό και η μεταβολή γίνεται κατά την κατεύθυνση της δύναμης

 Ο ορισμός του ρυθμού μεταβολής της ορμής είναι:
 Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος σε κάθε χρονική στιγμή ισούται με τη δύναμη που δέχεται το σώμα εκείνη την στιγμή και έχει φορά και την διεύθυνση της δύναμης.

Για να αλλάξει η ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης

 Από τη σχέση προκύπτει ότι η μεταβολή της ορμής ( p→_τελ-p→_αρχ ) διά του χρόνου Δt εντός του οποίου συμβαίνει αυτή, ισούται με τη δύναμη F→ που την προκαλεί.

 Συνεπώς για να αλλάξει η ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΤOY ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

 Για την απόδειξη της σχέσης θα χρησιμοποιήσουμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής.
 Η δύναμης ισούται:

F→=m·α→                                    

 Με την εφαρμογή της δύναμης F έχουμε αύξηση της ταχύτητας του σώματος από υ→_αρχ σε υ→_τελ.Συνεπώς υπάρχει και αύξηση της ορμής του σώματος.

Με την εφαρμογή της δύναμης F έχουμε αύξηση της ταχύτητας του σώματος από υαρχ σε υτελ

 Θα χρησιμοποιήσουμε την σχέση της ευθύγραμμης ομαλής επιταχυνόμενης κίνησης για την επιτάχυνση α.Ισχύει η σχέση:


α→= υ→_τελ - υ→_αρχΔt

 Αντικαθιστούμε στην πρώτη σχέση την τιμή της επιτάχυνσης από τη  δεύτερη σχέση.Άρα προκύπτει ότι:

F→=m·υ→_τελ-υ→_αρχΔt          ή

F→= m·υ→_τελ-m·υ→_αρχΔt

 Γνωρίζουμε όμως ότι το γινόμενο m·υ→_τελ είναι η τελική ορμή p→_τελ του σώματος και m·υ→_αρχ  η αρχική ορμή του p→_αρχ.
Έχουμε δηλαδή:

p→_αρχ=m·υ→_αρχ            και 

p→_τελ=m·υ→_τελ

 Συνεπώς έχουμε:

F→ = m·υ→_τελ-m·υ→_αρχ Δt

F→ = p→_τελ-p→_αρχΔt

                                                                        F→=   Δp →Δt

 Στην περίπτωση που τα διανύσματα p→_αρχ και p→_τελ  είναι συγγραμικά,έχουμε:

F = p_τελ-p_αρχΔt

                                                                       F=    Δp Δt

ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΤOY ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

 Η έκφραση του θεμελιώδους νόμου της μηχανικής με την μορφή πλεονεκτεί της αντίστοιχης έκφρασης p=m·υ. 

H σχέση p=m·υ εφαρμόζεται μόνο,όταν η μάζα του σώματος παραμένει σταθερή,ενώ η F=Δp/Δt μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις που η μάζα μεταβάλλεται,όπως συμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες,της τάξης του 0,8c και πάνω

 Πράγματι η σχέση p=m·υ εφαρμόζεται μόνο,όταν η μάζα του σώματος παραμένει σταθερή,ενώ η F=Δp/Δt μπορεί να εφαρμοστεί και σε περιπτώσεις που η μάζα μεταβάλλεται,όπως συμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες,της τάξης του 0,8c και πάνω,όπου c η ταχύτητα του φωτός.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΤOY ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ

 Μέσα από ένα παράδειγμα θα εξετάσουμε το νόημα που έχει αυτό το συμπέρασμα.Στο ποδόσφαιρο για να αποκτήσει η μπάλα μεγάλη ταχύτητα και συνεπώς μεγάλη ορμή πρέπει να της δώσουμε μία “δυνατή κλωτσιά”.Για να συμβεί αυτό  πρέπει στη μπάλα να ασκηθεί μεγάλη δύναμη.

Στο ποδόσφαιρο για να αποκτήσει η μπάλα μεγάλη ταχύτητα και συνεπώς μεγάλη ορμή πρέπει στη μπάλα να ασκηθεί μεγάλη δύναμη

 Έτσι,όπως προκύπτει από τη σχέση όσο πιο μεγάλη είναι η δύναμη,τόσο πιο μεγάλη θα είναι η μεταβολή της ορμής της μπάλας.Θεωρώντας ότι η μπάλα ήταν αρχικά ακίνητη, προκύπτει ότι:

                                                                        F=m·υ/Δt=pμπάλας/Δt

όπου:
pμπάλας η ορμή της μπάλας και 

Δt η χρονική διάρκεια της επαφής του ποδιού με τη μπάλα.

 Θα αναφέρουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα για να μελετήσουμε την τελευταία σχέση.

Από μετρήσεις βρέθηκε ότι στις δυνατές κλωτσιές η επαφή της μπάλας με το παπούτσι του ποδοσφαιριστή διαρκεί 0,008 s

 Ένας ποδοσφαιριστής δίνει μία “δυνατή κλωτσιά” και η μπάλα αποκτά ταχύτητα 23 m/s.Από μετρήσεις βρέθηκε ότι στις δυνατές κλωτσιές η επαφή της μπάλας με το παπούτσι του ποδοσφαιριστή διαρκεί 0,008 s.Η μάζα της μπάλας,σύμφωνα με τους κανονισμούς είναι 0,425 kg.Μπορούμε χρησιμοποιώντας τη σχέση  να υπολογίσουμε τη δύναμη.
 Αντικαθιστούμε τα παραπάνω δεδομένα και έχουμε:

F=0,425 kg·23 m/s·0,008 s=1.381,25 N

 Για να εκτιμήσουμε το πόσο μεγάλη είναι αυτή η δύναμη μπορούμε να τη συγκρίνουμε με το βάρος του ποδοσφαιριστή.Αν δεχθούμε ότι η μάζα του ποδοσφαιριστή είναι 70 kg,το βάρος του είναι 70 kg·9,81 m/s²=686,7 Ν.   

 Συγκρίνοντας τα μέτρα των δύο αυτών δυνάμεων προκύπτει ότι η δύναμη που άσκησε ο ποδοσφαιριστής στη μπάλα είναι περίπου διπλάσια από το βάρος του.