PHYSIC LESSONS: ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Εκτός από τις ευθύγραμμες κινήσεις συναντούμε πολύ συχνά στη ζωή μας και κυκλικές κινήσεις.

Τα διάφορα σημεία ενός τροχού που στρέφεται κινούνται κυκλικά

Τα διάφορα σημεία ενός τροχού που στρέφεται κινούνται κυκλικά.

Τα κέντρα των κυκλικών τροχιών τους βρίσκονται στον άξονα περιστροφής του τροχού

Τα κέντρα των κυκλικών τροχιών τους βρίσκονται στον άξονα περιστροφής του τροχού.

Τα σημεία της περιφέρειας του στρεφόμενου μύλου του Λούνα Παρκ εκτελούν κυκλική κίνηση

Τα σημεία της περιφέρειας του στρεφόμενου μύλου του Λούνα Παρκ και ο μοτοσικλετιστής που κάνει το γύρο του θανάτου εκτελούν επίσης κυκλική κίνηση.

O μοτοσικλετιστής που κάνει το γύρο του θανάτου εκτελεί κυκλική κίνηση

Κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά που διαγράφει ένα κινητό είναι περιφέρεια κύκλου.

Κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά που διαγράφει ένα κινητό είναι περιφέρεια κύκλου

Άλλα παραδείγματα κυκλικής κίνησης αποτελούν οι δείκτες στο ρολόι και η κίνηση του ανεμιστήρα.

Η απλούστερες από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή κυκλική κίνηση,κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κινητού παραμένει σταθερή.

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Ο δείκτης του ρολογιού που δείχνει τα πρώτα λεπτά της ώρας στρέφεται γύρω από τον άξονα.Το άκρο του δείκτη κινείται κυκλικά και σε κάθε πέντε πρώτα λεπτά διατρέχει ένα από τα ίσα τόξα.

Ο δείκτης του ρολογιού που δείχνει τα πρώτα λεπτά της ώρας στρέφεται γύρω από τον άξονα

Η κίνηση αυτή του σημείου λέγεται ομαλή κυκλική κίνηση.

Ο δείκτης του ρολογιού που δείχνει τα πρώτα λεπτά της ώρας στρέφεται γύρω από τον άξονα.Το άκρο του δείκτη κινείται κυκλικά και σε κάθε πέντε πρώτα λεπτά διατρέχει ένα από τα ίσα τόξα

Την κίνηση αυτή πραγματοποιεί ένα κινητό που κινείται πάνω σε περιφέρεια κύκλου έτσι ώστε το μέτρο της ταχύτητάς του να παραμείνει σταθερό,ενώ η κατεύθυνσή της μεταβάλλεται συνεχώς.

Ομαλή κυκλική κίνηση ονομάζεται η κυκλική κίνηση ενός κινητού στην οποία το κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά και σε ίσους χρόνους διατρέχει ίσα τόξα

Επομένως:
Ομαλή κυκλική κίνηση ονομάζεται η κυκλική κίνηση ενός κινητού στην οποία το κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά και σε ίσους χρόνους διατρέχει ίσα τόξα,δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας του παραμένει σταθερό.

Ο τεχνητός δορυφόρος της Γης εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση

Ομαλή κυκλική κίνηση εκτελούν τα σημεία κάθε σώματος που στρέφεται γύρω από έναν άξονα του με σταθερή συχνότητα,όπως τα σημεία των δεικτών του ρολογιού και τα σώματα που είναι στην επιφάνεια της Γης.Την ίδια κίνηση εκτελούν οι τεχνητοί δορυφόροι της Γης,ένα σημείο του περιστρεφόμενου δίσκου στο πικάπ κ.τ.λ.

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Το άκρο του λεπτοδείκτη χρειάζεται μία ώρα για να διατρέξει όλη την περιφέρεια.Ο χρόνος αυτός λέγεται περίοδος.

Περίοδος μιας ομαλής κυκλική κίνησης ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό για να κάνει μια πλήρη στροφή

Επομένως:
Περίοδος Τ μιας ομαλής κυκλική κίνησης ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται το κινητό για να πραγματοποιήσει μια περιφορά,δηλαδή να διαγράψει έναν κύκλο.
Η περίοδος είναι μονόμετρο μέγεθος.
Η μονάδα μέτρησης της περιόδου είναι το ένα δευτερόλεπτο:

1 s

Όταν ένα κινητό έχει περίοδο Τ=20 s,τότε εκτελεί μία περιφορά σε χρόνο t=10 s.

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και σε χρόνο t διαγράφει Ν στροφές.Το πηλίκο Ν/t φανερώνει τον αριθμό των στροφών που διαγράφει το κινητό σε μία χρονική μονάδα,και λέγεται συχνότητα f.

Συχνότητα f μιας ομαλής κυκλικής κίνησης ονομάζεται ο αριθμός των στροφών που διαγράφει το κινητό στη μονάδα του χρόνου και συμβολίζεται με f

Συχνότητα f μιας ομαλής κυκλικής κίνησης ονομάζεται ο αριθμός των στροφών που διαγράφει το κινητό στη μονάδα του χρόνου.

f =Ν/t

ΣΧΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Θεωρούμε ένα κινητό που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και έχει περίοδο Τ.Σε μία στροφή το κινητό έχει εκτελέσει αυτή τη περίοδο Τ.

Σχέση περιόδου και συχνότητας

Στον ορισμό της συχνότητας f=Ν/t θέτουμε όπου Ν=1(μία στροφή),οπότε ο χρόνος t θα είναι ίσος με μία περίοδο,δηλαδή t=T.
Συνεπώς προκύπτει ότι η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται με τη σχέση:

f =1/T

ΜΟΝΑΔΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

Μονάδα της συχνότητας είναι το 1 Hz (1 Χέρτζ) που λέγεται και 1 κύκλος ανά δευτερόλεπτο (1 c/s ή s^-1) προς τιμή του φυσικού Hertz που θεωρείται ένας από τους πρωτοπόρους στη μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων.

Ο Χάινριχ Ρούντολφ Χερτς ή Χερτζ,(Heinrich Rudolf Hertz),(1857-1894) ήταν Γερμανός φυσικός.Ο πρώτος που πέτυχε την εκπομπή,μετάδοση και λήψη ραδιοκυμάτων.Γεννήθηκε στις 22 Φεβρουαρίου 1857 στο Αμβούργο,και το 1880 απέκτησε το διδακτορικό του δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.Επιβεβαίωσε την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Τζέιμς Μάξγουελ και κατά τη διάρκεια πειραμάτων (1886-1889) παρήγαγε και μελέτησε ηλεκτρομαγνητικά κύματα (γνωστά επίσης ως ερτζιανά κύματα,ή ραδιοκύματα)

Το 1 Hz είναι η συχνότητα ενός κινητού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και διαγράφει μία στροφή σε ένα δευτερόλεπτο.

Το 1Hz είναι η συχνότητα ενός κινητού που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση και διαγράφει μία στροφή σε ένα δευτερόλεπτο

Πολλαπλάσια του 1 Hz είναι το 1 κιλοχέρζ(1 kHz),το 1 μεγαχέρζ(1 MHz)  και το 1 γκίκαχέρζ(1 GHz) κ.λπ.Για τα πολλαπλάσια αυτά ισχύει:

  1 kHz=10³Hz

  1 MHz=10⁶Hz

  1 GHz=10⁹Hz

ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Η ομαλή κυκλική κίνηση εντάσσεται σε μια μεγάλη κατηγορία κινήσεων που λέγονται περιοδικές.Μια τέτοια κίνηση έχει το χαρακτηριστικό ότι επαναλαμβάνεται η ίδια στον ίδιο πάντα χρόνο που λέγεται περίοδος (Τ).

Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση εκείνη η οποία επαναλαμβάνεται η ίδια στον ίδιο πάντα χρόνο,ο οποίος ονομάζεται περίοδος (Τ) της κίνησης

Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση εκείνη η οποία επαναλαμβάνεται η ίδια στον ίδιο πάντα χρόνο,ο οποίος ονομάζεται περίοδος (Τ) της κίνησης.
Χαρακτηριστικά παραδείγματα περιοδικών κινήσεων αποτελούν οι ταλαντώσεις,η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο κ.λπ..

Χαρακτηριστικό παράδειγμα περιοδικών κινήσεων αποτελεί η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο

Χαρακτηριστικά μεγέθη της περιοδικής κίνησης είναι η περίοδος και η συχνότητα.Η περίοδος αντιστοιχεί στη χρονική διάρκεια της επαναλαμβανόμενης κίνησης και μετριέται σε sec ενώ η συχνότητα στον ρυθμό επανάληψης της κίνησης και μετριέται σε Hz.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ας πάρουμε ένα κινητό που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση.Στον πολύ μικρό χρόνο διανύει το τόξο ΔS.
Το μέτρο της ταχύτητας που ονομάζεται γραμμική ταχύτητα θα είναι:

υ=ΔS/Δt

Σύμφωνα με τον ορισμό της ομαλής κυκλικής κίνησης το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του κινητού παραμένει σταθερό,ενώ η κατεύθυνση της μεταβάλλεται συνεχώς,επειδή κάθε στιγμή είναι εφαπτόμενη στην τροχιά.

Ένα κινητό εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση

Άρα τα διανυόμενα τόξα είναι ανάλογα των χρόνων στους οποίους διανύονται.Συνεπώς μπορούμε να γράψουμε:

ΔS=υ·Δt ή

S=υ·t

Επομένως το μέτρο της ταχύτητάς του,που είναι η γραμμική ταχύτητα θα είναι:

υ=S/t

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Γραμμική ταχύτητα υ ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο του μήκους του τόξου S που διάνυσε το κινητό σε χρόνο t,προς τον αντίστοιχο χρόνο t.

υ=S/t

(ορισμός γραμμικής ταχύτητας)

Άρα η γραμμική ταχύτητα έχει:

Γραμμική ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο του μήκους του τόξου S που διάνυσε το κινητό σε χρόνο t,προς τον αντίστοιχο χρόνο t

μέτρο: υ =S/t
διεύθυνση: Τη διεύθυνση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο που βρίσκεται κάθε στιγμή το κινητό.
φορά: Τη φορά της κίνησης.

Η κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας του κινητού μεταβάλλεται συνεχώς

Μονάδα μέτρησης της γραμμικής ταχύτητας στο S.I. είναι το:

1 m/s

Η κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας του κινητού μεταβάλλεται συνεχώς,ενώ το μέτρο της (υ=S/t) παραμένει σταθερό,γιατί το κινητό σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα.

ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στο τελευταίο τύπο υ=S/t θέτουμε t=Τ.Τότε το τόξο που θα διανύσει το κινητό θα έχει μήκος S=2·π·R,που είναι το μήκος της περιφέρειας της κυκλικής τροχιάς.

Η γραμμική ταχύτητα έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο που βρίσκεται κάθε στιγμή το κινητό

Άρα έχουμε:

2·π·R=υ·Τ ή

υ=2·π·R/Τ

(τύπος γραμμικής ταχύτητας)

Ας υποθέσουμε ότι τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται στη θέση Α και μετά από χρόνο t,κινούμενο κατά τη θετική φορά που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,με γραμμική ταχύτητα μέτρου υ βρίσκεται στη θέση Β,έχοντας διανύσει το τόξο Δs.

Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας παραμένει σταθερό,γιατί το κινητό σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα

Η θέση του κινητού πάνω στην τροχιά του μπορεί να προσδιορισθεί,κάθε στιγμή,με δύο τρόπους:

α) Με τη μέτρηση του μήκους του τόξου ΑΒ (ΔS=υ·Δt).

β) Με τη μέτρηση της γωνίας ΑΟΒ (ΑΟΒ=Δθ) την οποία διαγράφει μια ακτίνα, που θεωρούμε ότι συνδέει κάθε στιγμή το κινητό με το κέντρο της τροχιάς του (επιβατική ακτίνα).

Τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό βρίσκεται στη θέση Α και μετά από χρόνο t,κινούμενο κατά τη θετική φορά

Έτσι όταν το κινητό θα έχει "διανύσει" τόξο μήκους Δs η επιβατική ακτίνα θα έχει "διαγράψει" επίκεντρη γωνία Δθ.

ΓΩΝΙΑ ΣΕ ΑΚΤΙΝΙΑ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ

Για να ορίσουμε τη γωνία που σχηματίζουν δύο μη παράλληλες ευθείες,θεωρούμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής τους και τυχαία ακτίνα.

Το πηλίκο του μήκους s του τόξου που περιέχεται μεταξύ των ευθειών προς την ακτίνα R του κύκλου το ορίζουμε γωνία φ των ευθειών

Το πηλίκο του μήκους s του τόξου που περιέχεται μεταξύ των ευθειών προς την ακτίνα R του κύκλου το ορίζουμε γωνία φ των ευθειών.
Δηλαδή:

φ=s/R

Επειδή η γωνία είναι πηλίκο μηκών,η γωνία φ είναι αδιάστατο μέγεθος.Όμως έχει μονάδα μέτρησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΚΤΙΝΙΟΥ

Αν s=R τότε:

φ=s/R ή

φ=R/R ή

φ=1

Αυτή τη γωνία την ονομάζουμε ένα ακτίνιο(1 rad).

Ακτίνιο(1 rad) ονομάζεται η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου

Ακτίνιο(1 rad) ονομάζεται η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου.
Το ακτίνιο (1 rad) είναι μονάδα μέτρησης της γωνίας.

Γωνία ενός ακτίνιου ισοδυναμεί με το τόξο το οποίο έχει μήκος ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου.

Στο σύστημα SI το ακτίνιο θεωρούταν παλιότερα ως "συμπληρωματικό μέγεθος",αλλά αυτή η κατηγορία μεγεθών καταργήθηκε το 1995,και θεωρείται τώρα παράγωγο μέγεθος.Από τον ορισμό οι διαστάσεις του ακτίνιου στο SI είναι m∙m⁻¹,είναι δηλαδή αδιάστατο μέγεθος.

ΣΧΕΣΗ ΜΟΙΡΑΣ ΜΕ ΑΚΤΙΝΙΟ

Από τον ορισμό του ακτινίου προκύπτει και η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών,ως εξής:
Έστω ότι μια γωνία ω είναι µ^o,και x rad.Επειδή το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι 2π∙ρ,η γωνία 360^o είναι ίση με 2π rad.

Οπότε η γωνία 1 rad είναι ίση με 360/2π μοίρες.

Σχέση μοίρας με ακτίνια

Επομένως η γωνία α rad είναι ίση με x∙180/π μοίρες.
Επειδή όμως η γωνία ω είναι µ^o,θα ισχύει µ=x∙180/π,οπότε θα έχουμε:

x/π=μ/180

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ

Στον παρακάτω πίνακα προβάλουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές.

Στη συνέχεια,επειδή στον τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει μήκος x,αντί να γράφουμε ημ(x rad),συν(x rad),εφ(x rad) και σφ(x rad),θα γράφουμε απλά ημx,συνx,εφx και σφx.
Για παράδειγμα,αντί να γράφουμε π.χ. ημ(π/6 rad) θα γράφουμε απλά ημπ/6 και αντί ημ(100 rad ) θα γράφουμε απλά ημ100.

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σ'αυτό το σημείο θα πρέπει να ορίσουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος στην ομαλή κυκλική κίνηση με την βοήθεια ενός απλού παραδείγματος.
Έχουμε ένα δίσκο που περιστρέφεται και τα σημεία του κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση,όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.Έστω τρία σημεία Α,Β και Γ του δίσκου που βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα.

Ο δίσκος περιστρέφεται και τα σημεία του κάνουν ομαλή κυκλική κίνηση.Τα τρία σημεία Α,Β και Γ του δίσκου βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα

Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα, τα τρία σημεία βρίσκονται στις θέσεις Α',Β' και Γ΄αντίστοιχα και έχουν διαγράψει την ίδια γωνία θ.Ωστόσο τα μήκη των αντίστοιχων τόξων ΛΛ',ΒΒ΄,ΓΓ' είναι διαφορετικά μεταξύ τους,γεγονός που σημαίνει ότι οι γραμμικές ταχύτητες των σημείων Α,Β,Γ διαφέρουν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στην ομαλή κυκλική κίνηση λοιπόν,εκτός από την γραμμική ταχύτητα που δίνει το ρυθμό με τον οποίο διανύει το κινητό διαστήματα,χρειαζόμαστε και ένα άλλο μέγεθος που να δείχνει με τι ρυθμό η επιβατική ακτίνα διαγράφει γωνίες.

Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει το σώμα

Γι' αυτό ορίζουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος που λέγεται γωνιακή ταχύτητα και συμβολίζεται με ω.

Γωνιακή ταχύτητα ω στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση.

Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί κυκλική κίνηση

Η γωνιακή ταχύτητα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής του τόξου που διαγράφει το σώμα και μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτα (rad/s).

Η Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού είναι ένα διανυσματικό μέγεθος

Η Γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση ενός κινητού είναι ένα διανυσματικό μέγεθος με:
α) μέτρο :Η τιμή του μέτρου είναι ίση με το σταθερό πηλίκο της γωνίας θ που διαγράφηκε από την επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστημα t δια του αντίστοιχου χρονικού διαστήματος.
Δηλαδή :

ω=θ/t

(Ορισμός γωνιακής ταχύτητας)

β) Διεύθυνση:Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης.

Η διεύθυνση της γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης

Η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς της κίνησης και εμπειρικά η φορά του ακολουθεί τον κανόνα του δεξιού χεριού,δηλαδή για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω.

Η φορά της γωνιακή ταχύτητα στην ομαλή κυκλική κίνηση καθορίζεται εμπειρικά με τον κανόνα του δεξιού χεριού

Εναλλακτικά η φορά της γωνιακής ταχύτητας είναι η φορά του παρακάτω εξωτερικού γινομένου:

$\boldsymbol\omega=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{|\mathrm{\mathbf{r}}|^2}$

γ) Φορά:Η φορά καθορίζεται εμπειρικά με τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Το διάνυσμα ω έχει τη φορά, του αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν η φορά περιστροφής του κινητού συμπίπτει με τη φορά των υπόλοιπων δακτύλων

Το διάνυσμα ω έχει τη φορά,του αντίχειρα του δεξιού χεριού όταν η φορά περιστροφής του κινητού συμπίπτει με τη φορά των υπόλοιπων δακτύλων.

Για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω

Δηλαδή για αριστερόστροφη κίνηση η φορά του διανύσματος είναι προς τα πάνω και για δεξιόστροφη κίνηση προς τα κάτω.

ΤΥΠΟΙ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή κατά συνέπεια στον τύπο ω=θ/t το t μπορεί να πάρει την τιμή:

t=Τ

η γωνία Δθ γίνεται:

Δθ=2·π

Δηλαδή στην ομαλή κυκλική κίνηση σε χρόνο μιας περιόδου Τ η επιβατική ακτίνα θα έχει διαγράψει γωνία 2·π rad.Συνεπώς η σχέση ω=θ/t γράφεται:

ω=2·π/Τ

(Τύπος γωνιακής ταχύτητας με περίοδο)

Επειδή όμως f=1/Τ η σχέση γράφεται:

ω=2·π·f

(Τύπος γωνιακής ταχύτητας με συχνότητα)

ΜΟΝΑΔΑ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για να ορίσουμε τις μονάδες μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας,μας χρειάζεται να γνωρίζουμε τις μονάδες με τις οποίες μετράμε μια επίπεδη γωνία.Όπως είναι γνωστό το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας Δθ ορίζεται ως ο λόγος του τόξου ΔS που κόβει με τις πλευρές της προς την ακτίνα R του κύκλου.

Δθ=ΔS/R

Αν το μήκος του τόξου ΔS είναι ίσο με την ακτίνα R τότε η γωνία Δθ είναι ένα ακτίνιο ή 1 rad.

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή

Σύμφωνα με τη σχέση ω=Δθ/Δt ως μονάδα γωνιακής ταχύτητας χρησιμοποιούμε το ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο.

1 rad/s

Πρακτικά όμως χρησιμοποιούμε και την εμπειρική μονάδα <<μοίρες ανά sec>>,που όμως δεν είναι δυνατό να τη χρησιμοποιήσουμε σε τύπους όπου συνδέονται μήκη με γωνίες.

ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για να υπολογίσουμε τη σχέση που συνδέει τη γραμμική με τη γωνιακή ταχύτητα πρέπει να διαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις:

υ=2·π·R/T

και

ω=2·π/T

Άρα έχουμε:

υ/ω=2·π·R/T/2·π/T $\Rightarrow$

υ/ω=R $\Rightarrow$

υ=ω·R

(Σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας)

Η σχέση αυτή συνδέει τη γραμμική ταχύτητα με τη γωνιακή και με την ακτίνα της τροχιάς.

Σχέση γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας

Φαίνεται απ' αυτήν πως όλα τα σημεία ενός περιστρεφόμενου δίσκου,ενώ έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα (ω),έχουν γραμμικές ταχύτητες (υ) το μέτρο των οποίων είναι ανάλογο με την απόσταση τους από τον άξονα (κέντρο) περιστροφής.

Η σχέση υ=ω·R συνδέει τη γραμμική ταχύτητα με τη γωνιακή και με την ακτίνα της τροχιάς

Η διανυσματική σχέση που συνδέει γραμμική και γωνιακή ταχύτητα είναι η:

$\vec v = \vec \omega \times \vec r$

ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε κάθε σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό,όμως η διεύθυνση και η φορά αλλάζουν συνεχώς.Συνεπώς αφού το διάνυσμα της ταχύτητας αλλάζει εμφανίζεται επιτάχυνση.

Η κεντρομόλος επιτάχυνση έχει διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς του κινητού και φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς

Η επιτάχυνση αυτή έχει διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς του κινητού και φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση ακ.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Έχει αποδειχτεί ότι το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης δίνεται από τη σχέση:

ακ=υ²/R

(μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης)

Κεντρομόλος επιτάχυνση ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος με:

α) μέτρο: ακ=υ²/R,

β) διεύθυνση: Τη διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς του κινητού,

γ) φορά: Προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς.

Κεντρομόλος επιτάχυνση ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος με:

α) μέτρο: ακ=υ²/R

β) διεύθυνση:Τη διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς του κινητού

γ) φορά:Προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς

Μονάδα μέτρησης της κεντρομόλου επιτάχυνσης στο S.I. είναι το:

1 m/s²

ΣΧΕΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Αν αντικαταστήσουμε στον τύπο ακ=υ²/R την σχέση μεταξύ της γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας υ=ω·R έχουμε:

ακ=υ²/R    ή

ακ=(ω·R)²/R   ή

ακ=ω²·R²/R   ή

ακ=ω²·R

Στην ομαλή κυκλική κίνηση η τιμή της ταχύτητας είναι σταθερή,όμως η διεύθυνση και η φορά αλλάζουν συνεχώς.Άρα το διάνυσμα της ταχύτητας αλλάζει με αποτέλεσμα να εμφανίζεται επιτάχυνση που έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση ακ.

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ