ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΣΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΣΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ ΣΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

 Πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα των συστατικών της ύλης.Ο Λεύκιππος και ο Δημόκριτος υποστήριζαν ότι η ύλη αποτελείται από πολύ μικρά σωματίδια,τα οποία δεν μπορούν να διαιρούνται απεριόριστα και γι' αυτό ονομάστηκαν άτομα (δηλαδή άτμητα).

Ο Λεύκιππος (5ος αιώνας π.Χ.)  ήταν Έλληνας φιλόσοφος του 5ου αι. π.Χ. από τα Άβδηρα ή την Μίλητο,εισηγητής της ατομικής θεωρίας,δάσκαλος του Δημόκριτου.Διατύπωσε πρώτος την υπόθεση ότι η ύλη αποτελείται από άτομα

 Διατύπωσαν λοιπόν μια φιλοσοφική θεωρία,για να ερμηνεύσουν τις ιδιότητες των υλικών σωμάτων.Υποστήριξαν ότι η ύλη αποτελείται από άτομα που διαφέρουν μεταξύ τους κατά το σχήμα και κατά το μέγεθος.Τα άτομα δε δημιουργούνται ούτε καταστρέφονται και επομένως είναι άφθαρτα και αιώνια.Τα άτομα είναι πάρα πολλά και βρίσκονται σε διαρκή κίνηση μέσα στο κενό.Τα διάφορα φυσικά φαινόμενα οφείλονται στην κίνηση των ατόμων.Ο σχηματισμός των υλικών σωμάτων οφείλεται στις ενώσεις των ατόμων με άλλα άτομα,ενώ αντίθετα η καταστροφή των σωμάτων οφείλεται στο διαχωρισμό των ατόμων.

Ο Δημόκριτος ο Αβδηρίτης (460π.X.-390π.X.) ήταν μεγάλος φιλόσοφος της αρχαίας Ελλάδας.Υιός του Ηγησιστράτου.Βασικός εκπρόσωπος της Αρχαίας Ελληνικής Ατομικής θεωρίας.Μαθητής του Λευκίππου στην σχολή στα Άβδηρα και του Αναξαγόρου

 Ο Επίκουρος επηρεάστηκε από τη θεωρία του Δημόκριτου.Ένα μέρος της θεωρίας αυτής βρίσκεται σε ένα ποίημα του Ρωμαίου ποιητή Λουκρήτιου,όπου περιγράφεται,με βάση τις ατομικές αντιλήψεις του Δημόκριτου,η πίεση που ασκούν τα αέρια,η διάχυση των οσμών και το σχήμα των κρυστάλλων.

 Η ατομική θεωρία του Δημόκριτου ήταν μία από τις φιλοσοφικές θεωρίες των αρχαίων Ελλήνων.Δεν υπήρχε καμία πειραματική παρατήρηση για την υποστήριξή της.Η θεωρία του Δημόκριτου καταπολεμήθηκε από τον Πλάτωνα,τον Αριστοτέλη και τους μαθητές τους και έπεσε σε αφάνεια μέχρι το 19ο αιώνα.
 Στις αρχές του 19ου αιώνα ο Dalton (Ντάλτον) επανέφερε την ατομική θεωρία,για να εξηγήσει τους νόμους της Χημείας που ανακάλυψε πειραματικά.
 Σημαντικό σταθμό στην εξέλιξη των επιστημονικών ιδεών για το άτομο αποτέλεσε η ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον Thomson (Τόμσον) κατά το τέλος του 19ου αιώνα. 

Το μοντέλου του ατόμου Η2

 Η ανακάλυψη του ηλεκτρονίου ως συστατικό του ατόμου έδειξε ότι το άτομο έχει εσωτερική δομή και επομένως δεν είναι άτμητο.Επειδή η ύλη είναι ηλεκτρικά ουδέτερη,κατέληξε στο συμπέρασμα ότι και τα άτομα της ύλης είναι ηλεκτρικά ουδέτερα και επομένως το άτομο θα έχει ίσες ποσότητες θετικού και αρνητικού φορτίου. 

Το άτομο αποτελείται από μία πολύ μικρή περιοχή στην οποία είναι συγκεντρωμένο όλο το θετικό φορτίο και σχεδόν όλη η μάζα του ατόμου.Η περιοχή αυτή ονομάζεται πυρήνας

 Επίσης τα πειράματα έδειξαν ότι η μάζα του τμήματος που είναι θετικά φορτισμένο είναι μεγαλύτερη από τη μάζα των ηλεκτρονίων του ατόμου.

ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΟΥ THOMSON

 Το ερώτημα που τέθηκε στη συνέχεια ήταν:«πώς η μάζα και το φορτίο κατανέμονται στο εσωτερικό του ατόμου;» 

Το άτομο σύμφωνα με το πρότυπο του Thomson

 Ο Thomson (Τόμσον) πρότεινε ένα πρότυπο σύμφωνα με το οποίο το άτομο αποτελείται από μια σφαίρα θετικού φορτίου,ομοιόμορφα κατανεμημένου,μέσα στο οποίο είναι ενσωματωμένα τα ηλεκτρόνια,όπως οι σταφίδες μέσα σε ένα σφαιρικό σταφιδόψωμο. 

ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΟΥ RUTHERFORD 

 Ο Rutherford (Ράδερφορντ) και οι μαθητές του πραγματοποίησαν τα πρώτα πειράματα,για να διερευνήσουν την εσωτερική δομή του ατόμου,τα αποτελέσματα των οποίων ήλθαν σε αντίθεση με το πρότυπο του Thomson.

Πείραμα του Rutherford.Σκέδαση σωματίων α από ένα λεπτό φύλλο χρυσού.Περίπου ένα στα 8000 σωμάτια αποκλίνει κατά γωνία μεγαλύτερη των 90°.Τα σωμάτια α είναι πυρήνες ηλίου

 Στα πειράματα αυτά μια δέσμη θετικά φορτισμένων σωματίων α κατευθύνεται σε λεπτό μεταλλικό φύλλο χρυσού (στόχος).

Ο Έρνεστ Ράδερφορντ,1ος Βαρώνος Ράδερφορντ του Νέλσον Μέλος του Τάγματος της Αξίας,Μέλος της Βασιλικής Εταιρείας (πήρε αργότερα τον τιμητικό τίτλο Βαρώνος Ράδερφορντ του Νέλσον) ήταν Νεοζηλανδός φυσικός και χημικός.Ο Έρνεστ Ράδερφορντ ανακάλυψε ότι το άτομο έχει συγκεντρωμένο το θετικό φορτίο στο κέντρο του και το αρνητικό περιφερειακά

 Σύμφωνα με το πρότυπο του Thomson,η δέσμη των σωματίων α δε θα πρέπει να αποκλίνει σημαντικά για τους εξής λόγους: 

α) Το ολικό ηλεκτρικό φορτίο του ατόμου είναι μηδέν και επομένως δεν ασκείται ηλεκτρική δύναμη στα σωμάτια α,όσο αυτά βρίσκονται στο εξωτερικό του ατόμου. 

Τα φορτία των σωμάτων που βρίσκονται στο εσωτερικό των ατόμων,ούτε δημιουργούνται,ούτε καταστρέφονται.Σε οποιαδήποτε διαδικασία,το ολικό φορτίο διατηρείται σταθερό

β) Επειδή το θετικό ηλεκτρικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο, δεν μπορεί να ασκεί σημαντική απωστική δύναμη στα σωμάτια α,όσο αυτά βρίσκονται στο εσωτερικό του ατόμου. 

Το ηλεκτρικό φορτίο κάθε φορτισμένου σώματος είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ηλεκτρικού φορτίου του ηλεκτρονίου

γ) Η σύγκρουση των σωματίων α με  το ηλεκτρόνια δεν επηρεάζει σημαντικά την κίνησή τους,γιατί τα ηλεκτρόνια έχουν πολύ μικρότερη μάζα.Με τον ίδιο τρόπο δεν επηρεάζεται σημαντικά η κίνηση μιας βαριάς πέτρας μέσα στη βροχή. 

α) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μικρή γωνία σύμφωνα με το πρότυπο του Thomson
β) Τα σωμάτια α αποκλίνουν κατά μεγάλη γωνία σύμφωνα με το πρότυπο τον Rutherford

 Ο Rutherford παρατήρησε ότι τα περισσότερα από τα σωμάτια α διέρχονται μέσα από το στόχο σχεδόν ανεπηρέαστα,σαν να κινούνται μέσα σε σχεδόν κενό χώρο.Αρκετά αποκλίνουν σε διάφορες γωνίες.

Το εργαστήριο του  Έρνεστ   Ράδερφορντ

 Λίγα όμως αποκλίνουν κατά 180°.Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο,αν το θετικό φορτίο είναι συγκεντρωμένο σε μικρό χώρο,ώστε να ασκεί στα σωμάτια α μεγάλες απωστικές ηλεκτρικές δυνάμεις. 

Όταν ένα σώμα έχει αποβάλλει ηλεκτρόνια,έχει έλλειμμα ηλεκτρονίων και έχει ολικό φορτίο θετικό

 Για να ερμηνεύσει ο Rutherford τις πειραματικές παρατηρήσεις του,πρότεινε ένα πρότυπο σύμφωνα με το οποίο: 

Όταν ένα σώμα έχει προσλάβει ηλεκτρόνια αποκτά πλεόνασμα ηλεκτρονίων,οπότε δεν είναι πια ηλεκτρικά ουδέτερο και αποκτά αρνητικό φορτίο

 Το άτομο αποτελείται από μία πολύ μικρή περιοχή στην οποία είναι συγκεντρωμένο όλο το θετικό φορτίο και σχεδόν όλη η μάζα του ατόμου.Η περιοχή αυτή ονομάζεται πυρήνας.Ο πυρήνας περιβάλλεται από ηλεκτρόνια.Τα ηλεκτρόνια πρέπει να κινούνται γύρω από τον πυρήνα σε κυκλικές τροχιές,όπως οι πλανήτες γύρω από τον  Ήλιο,γιατί,αν ήταν ακίνητα,θα  έπεφταν πάνω στον πυρήνα εξαιτίας της ηλεκτρικής έλξης που δέχονται από αυτόν.

Μοντέλο του Rutherford για το άτομο (πλανητικό μοντέλο)

 Το πρότυπο του Rutherford ονομάζεται και πλανητικό μοντέλο του ατόμου,γιατί αποτελεί μικρογραφία του ηλιακού πλανητικού συστήματος.Αποτελεί ένα μεγάλο βήμα,που πλησιάζει στην εικόνα του ατόμου όπως τη γνωρίζουμε σήμερα.
 Όμως το μοντέλο αυτό,όπως θα δούμε παρακάτω,παρουσιάζει ορισμένες σημαντικές αδυναμίες. 

ΑTOMIKA ΦΑΣΜΑΤΑ

ΑTOMIKA ΦΑΣΜΑΤΑ

 Όταν εφαρμόσουμε ορισμένη τάση σε γυάλινο σωλήνα που περιέχει αέριο σε χαμηλή πίεση (όπως στις διαφημιστικές λυχνίες νέου),τότε θα παρατηρήσουμε ότι το αέριο εκπέμπει φως.Αν το φως αυτό αναλυθεί,όταν,για παράδειγμα,περάσει μέσα από ένα πρίσμα,τότε θα παρατηρήσουμε μια σειρά από φωτεινές γραμμές.Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε ένα διαφορετικό μήκος κύματος ή χρώμα.
 Όπως γνωρίζουμε,η σειρά των γραμμών που παρατηρούνται ονομάζεται γραμμικό φάσμα εκπομπής του αερίου.

Γραμμικό φάσμα εκπομπής τον υδρογόνου. Το φως που εκπέμπει το αέριο περνάει μέσα από ένα πρίσμα και το φάσμα αποτυπώνεται σε ευαίσθητο φιλμ

 Τα μήκη κύματος που περιέχει το γραμμικό φάσμα εκπομπής είναι χαρακτηριστικά του στοιχείου που εκπέμπει το φως.Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία που να  έχουν το ίδιο φάσμα εκπομπής.Το δεδομένο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των στοιχείων που περιέχονται σε μια ουσία.Δηλαδή το γραμμικό φάσμα παίζει το ρόλο των δακτυλικών αποτυπωμάτων.Όπως από τα δακτυλικά αποτυπώματα μπορούμε να βρούμε τον άνθρωπο στον οποίο ανήκουν,έτσι και από το γραμμικό φάσμα μπορούμε να βρούμε το στοιχείο στο οποίο ανήκει.

 Ένα αέριο μπορεί όχι μόνο να εκπέμπει φως,αλλά μπορεί και να απορροφά φως.Αν φωτίσουμε με πηγή που εκπέμπει λευκό φως ένα πρίσμα,πίσω από το οποίο έχει τοποθετηθεί πέτασμα,τότε θα παρατηρήσουμε πάνω στο πέτασμα μια συνεχή χρωματιστή ταινία.
 Η ταινία αυτή των χρωμάτων,όπως γνωρίζουμε,ονομάζεται συνεχές φάσμα του λευκού φωτός. 

Συνεχές φάσμα του λευκού φωτός

 Αν τώρα ανάμεσα στην πηγή του λευκού φωτός και στο πρίσμα τοποθετηθεί γυάλινο δοχείο που περιέχει κάποιο αέριο,τότε θα παρατηρήσουμε ότι η χρωματιστή ταινία διακόπτεται από σκοτεινές γραμμές.
 Η ταινία αυτή των χρωμάτων ονομάζεται γραμμικό φάσμα απορρόφησης του αερίου.
 Οι σκοτεινές γραμμές εμφανίζονται σε εκείνες ακριβώς τις συχνότητες στις οποίες εμφανίζονται οι φωτεινές γραμμές του φάσματος εκπομπής του ίδιου αερίου.

 Γραμμικό φάσμα απορρόφησης του υδρογόνου

 Επομένως το πείραμα δείχνει ότι: 

α) Το φάσμα εκπομπής ή απορρόφησης ενός αερίου αποτελείται από ορισμένες φασματικές γραμμές που είναι χαρακτηριστικές του αερίου.
 Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε ορισμένη συχνότητα (ή μήκος κύματος). 

β) Κάθε γραμμή τον φάσματος απορρόφησης του αερίου συμπίπτει με μια γραμμή τον φάσματος εκπομπής του.
 Δηλαδή κάθε αέριο απορροφά μόνο εκείνες τις ακτινοβολίες τις οποίες μπορεί να εκπέμπει.Τα γραμμικά φάσματα των αερίων αποτέλεσαν το κλειδί για την έρευνα της δομής του ατόμου.Κάθε θεωρία για τη δομή του ατόμου πρέπει να εξηγεί γιατί τα άτομα εκπέμπουν ή απορροφούν μόνο ορισμένες ακτινοβολίες και γιατί απορροφούν μόνο εκείνες τις ακτινοβολίες που μπορούν να εκπέμπουν.

 Το μοντέλο του Rutherford αδυνατούσε να εξηγήσει τα γραμμικά φάσματα των αερίων για τους παρακάτω λόγους: 

 Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο,το ηλεκτρόνιο περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα σε κυκλική τροχιά.Το μέτρο της ταχύτητάς του είναι σταθερό,αλλά η κατεύθυνσή της συνεχώς μεταβάλλεται και επομένως το ηλεκτρόνιο έχει επιτάχυνση.Σύμφωνα με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία,το ηλεκτρόνιο,όπως και κάθε επιταχυνόμενο φορτίο,εκπέμπει ακτινοβολία,δηλαδή ακτινοβολεί ενέργεια.Η ενέργεια του ηλεκτρονίου θα πρέπει να μειώνεται συνεχούς.Επομένως θα πρέπει να κινείται σε σπειροειδή τροχιά με διαρκώς μειούμενη ακτίνα και με διαρκώς μεταβαλλόμενη συχνότητα,μέχρις ότου πέσει στον πυρήνα.

Ηλεκτρομαγνητικό μοντέλο του ατόμου.Σύμφωνα με την κλασική Φυσική,το επιταχυνόμενο ηλεκτρόνιο έπρεπε να εκπέμπει συνεχές φάσμα και ακολουθώντας σπειροειδή τροχιά να πέφτει στον πυρήνα

 Η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας θα πρέπει να είναι ίση με τη συχνότητα περιφοράς του ηλεκτρονίου,η οποία μεταβάλλεται συνεχώς.Άρα,σύμφωνα με το μοντέλο του Rutherford,τα άτομα θα έπρεπε να εκπέμπουν συνεχές φάσμα και όχι γραμμικό,όπως παρατηρείται στην πράξη.Για να ερμηνεύσει τα γραμμικά φάσματα του υδρογόνου,ο Bohr πρότεινε ένα νέο πρότυπο για το άτομο του υδρογόνου. 

ΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΤΟΥ BOHR ΓΙΑ ΤΟ ΥΔΡΟΓΟΝΟ

  Στις αρχές του 20ού αιώνα οι επιστήμονες διαπίστωσαν ότι η κλασική Φυσική αδυνατούσε να ερμηνεύσει τα γραμμικά φάσματα των αερίων.Δεν μπορούσε να εξηγήσει:Γιατί το υδρογόνο εκπέμπει μόνο ορισμένα μήκη κύματος ακτινοβολίας;Γιατί απορροφά μόνο τα μήκη κύματος που εκπέμπει;

Ο Νιλς Μπορ (Niels Henrik David Bohr 7 Οκτωβρίου 1885-18 Νοεμβρίου 1962) ήταν Δανός φυσικός.Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης και είχε θεμελιώδεις συνεισφορές στην κατανόηση της ατομικής δομής και της κβαντικής μηχανικής.Τιμήθηκε με το βραβείο Nobel Φυσικής το 1922 για την ερευνά του στη δομή των ατόμων

 Για να απαντήσει στα παραπάνω ερωτήματα,ο Δανός φυσικός Bohr (Μπορ) πρότεινε ένα πρότυπο για το άτομο του υδρογόνου,που στηρίζεται στις παρακάτω παραδοχές: 

α) Το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου περιφέρεται γύρω από το θετικά φορτισμένο πυρήνα με την επίδραση της δύναμης Coulomb που δέχεται από αυτόν. 

Άτομο του υδρογόνου.Το πρωτόνιο θεωρείται ακίνητο.Η δύναμη Coulomb F προκαλεί την απαιτούμενη κεντρομόλο επιτάχυνση.Το ηλεκτρόνιο λοιπόν περιφέρεται με ταχύτητα υ_n σε επιτρεπόμενη τροχιά ακτίνας r_n ώστε να ισχύει:m·υ·r=n·ħ

β) Το ηλεκτρόνιο μπορεί να κινείται μόνο σε ορισμένες τροχιές,οι οποίες ονομάζονται  επιτρεπόμενες τροχιές.Οι επιτρεπόμενες τροχιές είναι εκείνες για τις οποίες ισχύει ότι η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι κβαντωμένη και ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας ħ=h/2π,όπου h είναι η σταθερά του Plank.
 Το μέτρο της στροφορμής του ηλεκτρονίου δίνεται από την εξίσωση:

                                                                              L=m·υ·r

όπου:

m η μάζα του ηλεκτρονίου,

υ το μέτρο της ταχύτητάς του και

r η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του.

Το διάνυσμα της στροφορμής L του ηλεκτρονίου στο πρότυπο του Bohr

 Εφαρμόζοντας τη συνθήκη σύμφωνα με την οποία η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι κβαντωμένη,έχουμε:

                                                                              m·υ·r=n·h/2π=n·ħ         

                                                                              n=1,2,3,…,∞

γ) Όταν το ηλεκτρόνιο κινείται σε ορισμένη επιτρεπόμενη τροχιά,δεν εκπέμπει ακτινοβολία.
 Η παραδοχή αυτή έρχεται σε αντίθεση με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία σύμφωνα με την οποία το ηλεκτρόνιο θα έπρεπε να ακτινοβολεί συνεχώς ενέργεια,να διαγράφει σπειροειδή τροχιά με διαρκώς μειούμενη ακτίνα και τελικά να πέφτει στον πυρήνα. 

δ) Όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδήσει από μία επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη μικρότερης ενέργειας,τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με τη διαφορά μεταξύ της αρχικής και της τελικής του ενέργειας.
 Αν Εα είναι η ενέργεια του ατόμου πριν από τη μετάβαση,Ετ η ενέργεια μετά τη μετάβαση και h·f η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου,τότε ισχύει:

                                                                              Eτ-Eα=h·f

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΥ

 Θα υπολογίσουμε την κινητική,τη δυναμική και την ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου,θεωρούμε ότι το ηλεκτρόνιο περιφέρεται γύρω από τον ακίνητο πυρήνα,ο οποίος αποτελείται από ένα πρωτόνιο.

Όταν αναφερόμαστε στην ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου, εννοούμε την ενέργεια του συστήματος που αποτελείται  από το ηλεκτρόνιο και τον ακίνητο πυρήνα του ατόμου

 Σύμφωνα με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα,η ηλεκτρική ελκτική δύναμη,που ασκεί ο πυρήνας στο ηλεκτρόνιο, πρέπει να είναι ίση με F=k·e²/r²,όπου είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του ηλεκτρονίου:

F=m·ακ

k·e²/r²=m·υ²/r

υ=e·(k/m·r)^1/2

 Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην εξίσωση βρίσκουμε:

K=k·e²/2r

 Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από την εξίσωση:

U=-k·e²/r

 Η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής του ενέργειας:

E=K+U=k·e²/2r+(-k·e²/r)

                                                                            E=-k·e²/2r

                                                               Ολική ενέργεια ηλεκτρονίου


  Όταν αναφερόμαστε στην ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου,εννοούμε την ενέργεια του συστήματος που αποτελείται  από το ηλεκτρόνιο και τον ακίνητο πυρήνα του ατόμου.Η ενέργεια αυτή οφείλεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ  του ηλεκτρονίου και του πυρήνα.

ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΕΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΤΙΜΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

 Η μικρότερη ακτίνα επιτρεπόμενης τροχιάς του ηλεκτρονίου ονομάζεται ακτίνα του Bohr και είναι ίση με:  

                                                                           r1=0,53×10^-10 m

 Οι ακτίνες των άλλων επιτρεπόμενων  τροχιών του ηλεκτρονίου δίνονται από την εξίσωση:

                                                                           rn=n²r1

                                                                                                       Επιτρεπόμενες τροχιές

όπου: 
n είναι ακέραιος θετικός αριθμός,ο οποίος ονομάζεται κύριος κβαντικός αριθμός,και μπορεί  να πάρει τιμές  από  ένα μέχρι άπειρο:

                                                                           n=1,2,3,…,∞

 Όταν  το  ηλεκτρόνιο κινείται στην  τροχιά με τη  μικρότερη ακτίνα (n=1),τότε έχει  την  ελάχιστη  ενέργεια,που είναι ίση με με E₁=-13,6 eV.

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟΒΟΛΤ (eV)

 Το ηλεκτρονιοβόλτ είναι η ενέργεια που μεταβιβάζεται σε ένα ηλεκτρόνιο,όταν αυτό επιταχύνεται μέσω διαφοράς δυναμικού 1 V.

                                                                           1 eV=1,6×10^-19 J

 Όταν κινείται στις άλλες επιτρεπόμενες τροχιές,τότε έχει ολική ενέργεια που δίνεται  από την εξίσωση:

                                                                           En=E1/n²

                                                                                                       Επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας

 Γνωρίζοντας τις τιμές των r1 και Ε1 και αντικαθιστώντας n=1,2,3,...στις εξισώσεις,υπολογίζουμε τις επιτρεπόμενες τιμές της ακτίνας και της ενέργειας.Οι τιμές αυτές φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Κύριος κβαντικός αριθμός	n=1	n=2	n=3	…	n→∞
	r1	4r1	9r1	…	∞
Ακτίνα  Ολική ενέργεια	Ε1	Ε1/4	Ε1/9	…	0

 Οι τιμές της ενέργειας είναι αρνητικές.Η μεγαλύτερη τιμή της ενέργειας είναι Ε=0.Αντιστοιχεί σε  και  και περιγράφει την κατάσταση κατά την οποία το ηλεκτρόνιο έχει απομακρυνθεί από το άτομο (ιονισμός).

Επιτρεπόμενες τροχιές τον ηλεκτρονίου στο πρότυπο τον Bohr για το άτομο τον υδρογόνου

 Η φυσική σημασία τον αρνητικού προσήμου της ολικής ενέργειας είναι ότι απαιτείται προσφορά ενέργειας,για να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο σε περιοχή εκτός του ηλεκτρικού πεδίου τον πυρήνα.