ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

  Στην φύση αρκετές φορές ένα φαινόμενο επαναλαμβάνεται συνέχεια με τον ίδιο τρόπο.
  Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο ολοκληρώνεται περίπου σε 365 ημέρες και ύστερα επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο.Μία τέτοια κίνηση λέγεται περιοδική ή γενικότερα περιοδικό φαινόμενο.

Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο επαναλαμβάνεται συνεχώς κατά τον ίδιο τρόπο και στον ίδιο ακριβώς χρόνο

  Η κούνια που έχουν τα μωρά ξεκίνα από ψηλά,κατεβαίνει,ανεβαίνει πάλι ψηλά,κατεβαίνει χαμηλά,επιστρέφει πάλι ψηλά στην αρχική της θέση και συνεχίζει την κίνηση της ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.

Η κίνηση τoυ παιχνιδιού γιο-γιο επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άρα είναι μία περιοδική κίνηση

  Το γιο-γιο είναι ένα παιχνίδι για παιδιά.Το παιδί κρατάει το σχοινί από την ελεύθερη άκρη και αφήνει το δίσκο να κινηθεί.Το σχοινί τυλίγεται και ξετυλίγεται γύρω από το αυλάκι πολλές φορές με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.Οι κινήσεις της Γης γύρω από τον Ήλιο,της κούνιας και του γιο-γιου επαναλαμβάνονται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Αυτές οι κινήσεις ονομάζονται περιοδικές κινήσεις.

Το φως του φάρου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό

  Περιοδική κίνηση ονομάζεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα.Άλλα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων είναι η ομαλή κυκλική κίνηση,ο μυς της καρδιάς και το ηλεκτροκαρδιογράφημα.

 Το <<φλας>> του αυτοκινήτου ανάβει και σβήνει σε ορισμένα χρονικά διαστήματα με κάποιο ρυθμό.Το ίδιο συμβαίνει και με το φως ενός φάρου.
  Η εκπομπή του φωτός ,που διακόπτεται με ορισμένο ρυθμό,είναι επίσης ένα περιοδικό φαινόμενο.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

   Άλλα τέτοια φαινόμενα είναι η κυκλοφορία του αίματος μας,το αναβοσβήσιμο του <<φλας>> ενός αυτοκινήτου,το ημερονύχτιο,το δρομολόγιο ενός λεωφορείου,η παλλίροια του Ευρίπου,η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα,τα μελτέμια του Αιγαίου κ.α.

Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που  εξελίσσονται και  επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα

  Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που  εξελίσσονται και  επαναλαμβάνονται το ίδιο σε ίσα σταθερά χρονικά διαστήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ

  Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων είναι: 

1) Η κίνηση  της Γης γύρω από τον Ήλιο.

2) Το <<φλας>> του αυτοκινήτου.

3) Η  κίνηση  του εκκρεμούς.

4) Το άναμμα και το σβήσιμο  του  φάρου.
5) Η ομαλή κυκλική κίνηση.
6) Η κίνηση του εκκρεμούς. 
7) Η κίνηση της κούνιας που έχουν τα μωρά.

8) Η κίνηση του γιο-γιο.
9) Ο μυς της καρδιάς.
10) Το ηλεκτροκαρδιογράφημα.
11) Η κυκλοφορία του αίματος μας. 
12) Το ταξίδι ενός κομήτη.
13) Το ημερονύχτιο.
14) Το δρομολόγιο ενός λεωφορείου.
15)  Η παλλίροια του Ευρίπου.
16) Η τριχόπτωση που παρατηρείται σε μερικά ζώα.

17) Τα μελτέμια του Αιγαίου

18) Κυκλοφορία  του αίματος.

19) Η περιστροφή ενός  τεχνητού δορυφόρου γύρω από  τη Γη.

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

  Κάθε περιοδικό φαινόμενο ολοκληρώνεται μέσα σ'  ένα ορισμένο χρόνο που  λέγεται περίοδος και αποτελεί  ένα από  τα βασικά χαρακτηριστικά του.Για παράδειγμα η περιστροφή  της Γης γύρω από  τον Ήλιο σε ένα  έτος,  το ημερονύχτιο σε μια μέρα, η παλίρροια σε 12 ώρες κ.λπ.
   Έτσι κάθε περιοδικό φαινόμενο  χαρακτηρίζεται από την περίοδο  του (Τ).

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

 Περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το  χρονικό διάστημα που χρειάζεται για  να πραγματοποιηθεί μια φορά το φαινόμενο. 

Περίοδος περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το  χρονικό διάστημα που χρειάζεται το σώμα για να συμπληρώσει έναν πλήρη κύκλο της κίνησής του

  Με άλλα λόγια περίοδος περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων του.
  Αν σε χρόνο t γίνονται Ν  επαναλήψεις  του φαινομένου,η περίοδος  είναι ίση με το πηλίκο.

                                         Τ=t/N

όπου:
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.

t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.

Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.

   Η περίοδος (Τ) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

   Μονάδα μέτρησης της περιόδου είναι το 1 sec.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

ΚΙΝΗΣΗ	ΠΕΡΙΟΔΟΣ
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της	24 ώρες
Περίοδος περιστροφής της Σελήνης γύρω από την Γη	27,321 ημέρες
Περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο	365,256 ημέρες
Περίοδος περιστροφής του Άρη γύρω από τον Ήλιο	686,96 ημέρες

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

  Αν μπορούσαμε να παρακολουθήσουμε  για ίδιο χρονικό διάστημα,  διαφορετικά περιοδικά φαινόμενα θα διαπιστώσουμε  ότι ο αριθμός των επαναλήψεων διαφέρει από φαινόμενο σε φαινόμενο.
      Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι επαναλήψεις περιοδικών φαινομένων σε 1 λεπτό.

Χρόνος 1 λεπτό
Περιοδικό φαινόμενο	Αριθμός επαναλήψεων
Περιστροφή ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα στο άτομο του υδρογόνου	3,9·1017
Ανεβοκατέβασμα εμβόλου μηχανής αυτοκινήτου	3·103
«Φλας» αυτοκινήτου	2·102
Χτύπος ανθρώπινης καρδιάς	70
Περιστροφή δίσκου πικ-απ	45
Περιστροφή δευτερολεπτοδείκτη	1

  Γι' αυτό και με  τη βοήθεια  του αριθμού των επαναλήψεων  του φαινομένου και  του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν, ορίσαμε  τη συχνότητα,  ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες  φορές  επαναλαμβάνεται  ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα  του χρόνου. 

Mε  τη βοήθεια  του αριθμού των επαναλήψεων  του φαινομένου και  του χρόνου μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν, ορίσαμε  τη συχνότητα,  ένα φυσικό μέγεθος που δείχνει πόσες  φορές  επαναλαμβάνεται  ένα περιοδικό φαινόμενο στη μονάδα  του χρόνου

  Η συχνότητα αποτελεί επίσης ένα από  τα βασικά χαρακτηριστικά του περιοδικού φαινομένου. 
   Το αντίστροφο της περιόδου είναι η συχνότητα της κίνησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Συχνότητα (f)  ενός περιοδικού φαινομένου  λέγεται το φυσικό  μέγεθος που εκφράζεται με το πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου  προς τον  χρόνο t μέσα στον οποίο πραγματοποιήθηκαν.

Συχνότητα περιοδικού φαινομένου ονομάζεται ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα στη μονάδα του χρόνου

  Η τιμή της συχνότητας του περιοδικού φαινομένου είναι το αντίστροφο πηλίκο  του αριθμού  των  επαναλήψεων  του  φαινομένου προς τον αντίστοιχο  χρόνο.

  
                                          f=N/t

όπου:
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
Ν ο αριθμός των επαναλήψεων που κάνει το σώμα.
t ο χρόνος του φαινομένου του σώματος.
 Η συχνότητα (f) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.


ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Μονάδα μέτρησης της συχνότητας είναι το 1Ηz.
  Το 1Ηz ισούται με 1 s^-1 ή με 1 κύκλο/s.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ	ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ (Hz)
Συχνότητα περιστροφής δίσκου πικάπ (33 στροφών)	0,66
Συχνότητα περιστροφής CD σε συσκευή CD Player	8,33
Συχνότητα εναλλασσόμενου ρεύματος (Ευρωπαϊκά ηλεκτρικά δίκτυα)	50
Συχνότητα νότας Λα	440
Περιοχή συχνοτήτων ακουστικών σημάτων	20 - 20.000
Περιοχή συχνοτήτων ορατού φωτός	4.3×1014 − 7.5×1014

ΣΧΕΣΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 

 Όπως αναφέραμε η περίοδος και η συχνότητα είναι αντίστροφα μεγέθη. Επειδή σε χρόνο t = Τ το σώμα κάνει μία επανάληψη,έχουμε Ν=1.Από την σχέση f=N/t προκύπτει:

όπου t = Τ και Ν=1             f=N/t  ή                                              

                             f=1/Τ

ΓΩΝΙΑΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ

  Στην κυκλική κίνηση ορίζεται το  διανυσματικό μέγεθος γωνιακή  ταχύτητα με μέτρο ω=dφ/dt.Ένα άλλο μέγεθος των περιοδικών φαινομένων είναι η  γωνιακή συχνότητα ω.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec.

Γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου ονομάζεται το μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά φαινόμενα και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός φαινομένου σε χρόνο 2π sec

  Το μέτρο  της γωνιακή συχνότητας είναι:

                                          ω=2π/Τ=2πf

όπου:
ω η γωνιακή συχνότητα του περιοδικού φαινομένου
Τ η περίοδος περιοδικού φαινομένου.
f η συχνότητα περιοδικού φαινομένου.
 Η γωνιακή συχνότητα (ω) περιοδικού φαινομένου είναι μονόμετρο μέγεθος.

Το διάνυσμα της γωνιακής  ταχύτητας στην κυκλική κίνηση

  Η γωνιακή συχνότητα δεν έχει άμεση φυσική σημασία.Στην ομαλή κυκλική κίνηση  το μέτρο της  γωνιακής  ταχύτητας που έχει ως  κυκλική κίνηση είναι ίσο με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ως περιοδική κίνηση.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ

  Μονάδα μέτρησης της  γωνιακής συχνότητας είναι  το 1 rad/s. 

ΓΡΑΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

ΓΡΑΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

 Είδαμε τόσα παραδείγματα περιοδικών κινήσεων.Παρατηρούμε ότι οι περιοδικές κινήσεις δεν είναι όλες όμοιες.

Τα μόρια του βατήρα πραγματοποιούν ταλάντωση

 Η τροχιά της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι κλειστή.Δεν έχει ακραία σημεία.Αντίθετα το γιο-γιο κινείται μεταξύ δυο ακραίων σημείων.Η τροχιά του δεν είναι μια κλειστή γραμμή όπως ο κύκλος.

Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση 

  Με άλλα λόγια το γιο-γιο κινείται γύρω από μια θέση σε αντίθεση με την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Ταλάντωση δύο οριζόντιων ελατηρίων

   Άρα σε μερικές περιοδικές κινήσεις  ένα σώμα κινείται παλινδρομικά μεταξύ δυο ακραίων θέσεων.Τέτοιες περιοδικές κινήσεις ανάμεσα σε δυο ακραία σημεία ονομάζονται ταλαντώσεις.

Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας

  Ταλάντωση ονομάζεται η περιοδική κίνηση που γίνεται παλινδρομικά γύρω από μία θέση ισορροπίας.

Σχηματική αναπαράσταση της αδρανειακής ταλάντωσης

   Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ταλάντωση.Άλλα παραδείγματα ταλαντώσεων είναι η κούνια,η χορδή μιας κιθάρας,η ράβδος σ'ένα παλιό ρολόι τοίχου,η στήλη του αέρα μέσα στη φλογέρα,το έμβολο  της μηχανής ενός αυτοκινήτου,όταν αυτή λειτουργεί, μια μικρή σφαίρα που αφήσαμε στο εσωτερικό ενός ημισφαιρίου,τα άκρα ενός διαπασών που διεγείραμε, ο βατήρας μιας πισίνας καταδύσεων μετά  την προσπάθεια που αθλητή ,το  εκκρεμές ενός ρολογιού  τοίχου κ.α.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

  Παρατηρούμε αρκετά σώματα που εκτελούν ταλάντωση κινούνται σε ευθεία γραμμή.Όταν η τροχιά του σώματος που κάνει ταλάντωση,είναι ευθεία γραμμή τότε έχουμε γραμμική ταλάντωση.

Η ταλάντωση ενός σώματος που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.Αυτή η ταλάντωση ονομάζεται γραμμική 

  Γραμμική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που εξελίσσεται πάνω σε ευθεία τροχιά.

Τα μόρια της χορδής πραγματοποιούν γραμμική ταλάντωση

   Παράδειγμα γραμμικής ταλάντωσης είναι ένα σώμα που είναι δεμένο στην ελεύθερη άκρη ελατηρίου.

Ο κύλινδρος πραγματοποιεί γραμμική ταλάντωση

   Άλλα παραδείγματα γραμμικής ταλάντωσης είναι το έμβολο της μηχανής ενός αυτοκινήτου όταν αυτή λειτουργεί,  ένα ξύλινος κύλινδρος που αρχικά ηρεμούσε μισοβυθισμένος σε λεκάνη με νερό αν τον βυθίσουμε λίγο περισσότερο και  τον αφήσουμε,  το σφαιρίδιο ενός απλού  εκκρεμούς όταν η διαδρομή  του  είναι μικρή, τα μόρια μιας χορδής άρπας όταν  τη χτυπήσουμε κ.ά. 

ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 

  Έχουμε ένα σώμα που είναι δεμένο στην άκρη ενός ελατηρίου.Η κίνηση του είναι μεταβαλλόμενη.Στο σώμα ασκείται το βάρος του w=mg και η δύναμη του ελατηρίου Fελ=-kx.

Τρεις θέσεις ενός σώματος.Φυσικό μήκος,θέση ισορροπίας και τυχαία θέση

  Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg.

Η δύναμη που ασκεί το ελατήριο κατά την διάρκεια της κίνησης μεταβάλλεται συνεχώς συναρτήσει του x,ενώ το βάρος παραμένει σταθερό με τιμή mg

  Κατά την διάρκεια της κίνησης του το σώμα περνάει από μία θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.
   Η θέση αυτή ονομάζεται θέση ισορροπίας του σώματος.

  Στη θέση ισορροπίας του σώματος που είναι δεμένο στην άκρη ελατηρίου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.Σε αυτή τη θέση έχουμε ΣF=0 ~Fελ=w.

  Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση όπου η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα μηδενίζεται.Όταν το σώμα απομακρύνεται από την θέση ισορροπίας, η δύναμη τείνει να το επαναφέρει προς αυτήν.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ
   

 Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι μια ειδική περίπτωση γραμμικής ταλάντωσης.

Στην απλή αρμονική ταλάντωση ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.

  Κατά την κίνηση αυτή,ένα αντικείμενο ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο θέσεις στον χώρο για απεριόριστο χρόνο,χωρίς απώλειες μηχανικής ενέργειας,όπως λόγω τριβών.

Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xOx'  μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από  το σημείο  Ο , που είναι το μέσο της  τροχιάς του

 Ένα σώμα κινείται παλινδρομικά πάνω σε ένα άξονα xΟx'   μεταξύ δύο ακραίων θέσεων Α και Α' γύρω από  το σημείο  Ο , που είναι το μέσο της  τροχιάς του.Η  απομάκρυνση του σώματος  είναι x.

Απλή  αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου

  Απλή  αρμονική ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη και η απομάκρυνση του κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής(αρμονική) συνάρτηση του χρόνου,δηλαδή μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου σύμφωνα με την σχέση:

                                                 x=Αημωt

Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του κινητού x  συνάρτηση του χρόνου t

   Το Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από το σημείο Ο στην οποία φτάνει το κινητό, και ονομάζεται πλάτος της  ταλάντωσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Παραδείγματα απλής  αρμονική ταλάντωση είναι:

α) Το σύστημα ιδανικού ελατηρίου - μάζας. 

β) Το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής.
γ) Ένας κατακόρυφος ξύλινος κύλινδρος βυθισμένος εν  μέρει σε υγρό κ.ά. 

Η απλή αρμονική ταλάντωση ενός συστήματος ιδανικού ελατηρίου - μάζας

  Στα παραπάνω παραδείγματα υπάρχει η προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες, όπως λόγω τριβών. 

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xΟx' με θέση ισορροπίας (x=0) την αρχή του άξονα. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι: 

α) Η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας, 

β) Το πλάτος της ταλάντωσης A,

γ) Η στιγμιαία φάση, 

δ) Η αρχική φάση φ0  της ταλάντωσης,

ε) Η κυκλική συχνότητα ω,

στ) Η περίοδος Τ  και 

ζ) Η συχνότητα f της ταλάντωσης.

ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ x

  Απομάκρυνση (x) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η αλγεβρική τιμή του διανύσματος  x από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.

  Η απομάκρυνση έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 μέτρο (1 m).

ΠΛΑΤΟΣ Α

  Πλάτος (Α) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.

ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΦΑΣΗ 

  Στιγμιαία φάση (ωt+φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η γωνία η οποία καθορίζει κάθε στιγμή μέσω του ημιτόνου τη στιγμιαία τιμή της απομάκρυνσης. 

Η γραφική παράσταση φάσης - χρόνου 

    Η στιγμιαία φάση μετράται σε rad.

ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ φ0

  Αρχική φάση (φ0) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται η τιμή της στιγμιαίας φάσης στην αρχή της μέτρησης του χρόνου, και συνεπώς καθορίζει την απομάκρυνση του κινητού εκείνη τη στιγμή. 

  Η αρχική φάση μπορεί να πάρει τιμές 0 ≤φ0<2π.

ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ω

  Κυκλική συχνότητα (ω) της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της στιγμιαίας φάσης ως προς τον χρόνο:

                                        ω=dω/dt 

 Συνδέεται με την περίοδο με τη σχέση ω=2π/Τ και με τη συχνότητα με την σχέση ω=2πf .

ΠΕΡΙΟΔΟΣ Τ

  Περίοδος (T)  της απλή αρμονική ταλάντωσης ονομάζεται το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά. 

  Η περίοδος Τ έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το ένα δευτερόλεπτο (1 s).

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f

  Συχνότητα (f) της απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται το πλήθος των επαναλήψεων που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου.

  Η σχέση της συχνότητας f είναι:

                                           f=N/t 

όπου:

f η συχνότητα της απλή αρμονική ταλάντωση

N το πλήθος των επαναλήψεων και 

t o χρόνος.

  Η συχνότητα είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το 1 Hz ή s^-1.

ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΜMΙΚΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ  ΕΛΑΤΗΡΙΟ

  Για  τη μελετήσουμε  τη  ταλάντωση που πραγματοποιεί σώμα με τη βοήθεια  ελατηρίου χρειαζόμαστε  ένα ιδανικό  ελατήριο με σταθερά k και φυσικό μήκος  l0, ένα συμπαγές σφαιρικό σώμα μάζας m,ένα χρονόμετρο Χ και μια μετροταινία Μ. 

  Τοποθετούμε  το  ελατήριο κατακόρυφα συνδέοντας  το πάνω άκρο του σταθερά και σταθεροποιούμε  τη μετροταινία παράλληλα με τον άξονα  του. 

  Δένουμε  το σώμα στο κάτω άκρο  του  ελατηρίου που  λέγεται θέση φυσικού μήκους και  το ακινητοποιούμε με  τη βοήθεια  του χεριού μας  σε κάποια θέση O.

  Η θέση αυτή  λέγεται ισορροπίας (Θ.Ι.) διότι  εκεί το σώμα ισορροπεί με  την επίδραση  του βάρους  του Β και  της δύναμης Fελ0 που δέχεται από  το  ελατήριο.

 Από  τη συνθήκη ισορροπίας έχουμε:

                                                           k·x = m·g   

όπου:
x η επιμήκυνση  του  ελατήριου.  

  Απομακρύνουμε  το σώμα από  τη θέση Ο,  το μεταφέρουμε κατακόρυφα πιο κάτω σε θέση Α και  το αφήνουμε  ελεύθερο.

  Βλέπουμε  τότε,ότι  το σώμα αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς  τα πάνω, φθάνει με κάποια  ταχύτητα στη θέση Ο, συνεχίζει και φθάνει σε θέση Β όπου στιγμιαία σταματά και αμέσως αρχίζει να κινείται προς  τα κάτω, περνά ξανά από  τη θέση Ο με κάποια  ταχύτητα συνεχίζει και φθάνει στην αρχική θέση Α όπου στιγμιαία σταματά και στη συνέχεια επαναλαμβάνει διαρκώς  την ίδια διαδικασία.

  Η κίνηση, άρα,του σώματος  είναι ταλάντωση και μάλιστα γραμμική διότι πραγματοποιείται μεταξύ δυο ακραίων θέσεων Α και Β και είναι και  ευθύγραμμη.

 Μετρώντας με  τη μετροταινία,λαμβάνοντας ως  αφετηρία  τη Θ.Ι., βρίσκουμε  ότι η μέγιστη  τιμή OA  του μέτρου  της μετατόπισης  του σώματος όταν αυτό κινείται κάτω από  τη Θ.Ι.  του  είναι Α.

  Βρίσκουμε επίσης  ότι η μέγιστη  τιμή ΟΒ  του μέτρου  της μετατόπισης  του σώματος όταν αυτό κινείται πάνω από  τη Θ.Ι.  του  είναι πάλι Α ισχύει δηλαδή OA = ΟΒ. 

 Με  τη βοήθεια  του χρονομέτρου βρίσκουμε  την περίοδο Τ  της  ταλάντωσης μετρώντας  το χρόνο  για  τη διαδρομή ΑΟΒΟΑ ή για  τη διαδρομή ΟΒΟΑΟ ή  για οποιονδήποτε «κύκλο» και διαπιστώνουμε  ότι παραμένει σταθερή.

  Μπορούμε επίσης να μετρήσουμε  τους χρόνους  για  τις διαδρομές AO, ΟΒ, ΒΟ και OA και να διαπιστώσουμε  ότι  είναι ίσοι μεταξύ  τους (άρα ο καθένας  είναι ίσος με Τ/4).

 Με  τη βοήθεια των μετρήσεων που μέχρι  τώρα  έχουμε κάνει μπορούμε να συμπληρώσουμε ένα πίνακα τιμών  της απομάκρυνσης ψ σε συνάρτηση με  το χρόνο κίνησης t (για απλούστευση θεωρούμε μηδέν  τη χρονική στιγμή που  το σώμα περνά από  τη Θ.Ι.) και να σχεδιάσουμε με  τη βοήθεια  του  την καμπύλη x = f(t) .

 Όμως τόσο ο πίνακας όσο και το διάγραμμα,μας δίνουν πολύ λίγες πληροφορίες.

 Αν θέλουμε  οι πληροφορίες  αυτές να  είναι πολύ περισσότερες, μπορούμε, αν φυσικά  έχουμε  τη δυνατότητα, να χρησιμοποιήσουμε χρονοφωτογραφία όπου  το σώμα στη διάρκεια μιας περιόδου  έχει φωτογραφηθεί πολλές  φορές σε διάφορες θέσεις.

 Αυτές οι θέσεις απέχουν χρονικά μεταξύ  τους όσο ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών φωτογραφίσεων (η απομάκρυνση  μετριέται με την μετροταινία που επίσης φαίνεται στις φωτογραφίες).

  Έτσι ο πίνακας τιμών x t  είναι  αρκετά πλήρης ώστε η καμπύλη ψ = f(t) που με  τη βοήθεια  του κατασκευάζουμε να μπορεί να σχεδιασθεί συνεχής και να θεωρείται  ότι βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματική.

 Αυτή η καμπύλη  έχει ημιτονοειδή μορφή πράγμα που  είναι και  το χαρακτηριστικό  της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης.

 Την καμπύλη x = f(t) που προηγουμένως κατασκευάσαμε μπορούμε να δούμε άμεσα αν τροποποιήσουμε  το πείραμα που  εκτελέσαμε προσαρτώντας μια  γραφίδα στο σώμα,η άκρη  της οποίας μόλις ακουμπά στο χαρτί μιλλιμετρέ με  το οποίο  είναι καλυμένη η παράπλευρη επιφάνεια κυλίνδρου που περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό γύρω από  τον άξονα  του.

Πειραματική διάταξη για την απευθείας λήψη του διαγράμματος της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο

 Μπορούμε μάλιστα να μετρήσουμε με  τη βοήθεια  της καμπύλης την απομάκρυνση  για διάφορες χρονικές στιγμές και να κατασκευάσουμε  τον πίνακα τιμών x-t.

   Είναι προφανές  ότι  για να μην αποτυγχάνει αυτό  το τροποιημένο πείραμα πρέπει η περίοδος περιστροφής  του κυλίνδρου να  είναι μεγαλύτερη από  την περίοδο  του σώματος και  το πλάτος  της  ταλάντωσης μικρότερο από  το μισό  του ύψους  του κυλίνδρου.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

 Όπως προαναφέραμε από τον ορισμό της απλής  αρμονικής ταλάντωσης,η απομάκρυνση ενός κινητού x από τη θέση ισορροπίας του O είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

Στο διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης χρόνου (x-t) στην απλή  αρμονική ταλάντωση 

   Άρα η απομάκρυνση του κινητού δίνεται από την σχέση:

                                                 x=Αημωt

όπου:

x  η απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας του O

Α το πλάτος της  ταλάντωσης

ω η κυκλική συχνότητα

t  χρoνική στιγμή του κινητού

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

 Διαθέτοντας  τώρα  τον πίνακα τιμών x-t μπορούμε να βρίσκουμε τη μεταβολή Δx δυο διαδοχικών τιμών  της απομάκρυνσης και διαιρώντας  την με  το χρονικό διάστημα Δt που μεσολάβησε μεταξύ των δυο προηγούμενων τιμών να βρίσκουμε  την  τιμή  της μέσης  ταχύτητας υμ=Δx/Δt γι' αυτό  το χρονικό διάστημα (που είναι ίσο,στην περίπτωση  της χρονοφωτογραφίας, με  το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί ανάμεσα σε δυο διαδοχικές φωτογραφίσεις ενώ στην περίπτωση  του στρεφόμενου κυλίνδρου  είναι επιλογής  του πειραματιστή). 

  Αν, μάλιστα φροντίσουμε,αυτό  το χρονικό διάστημα να  είναι ικανοποιητικά μικρό, μπορούμε να δεχθούμε,με καλή προσέγγιση, ότι οι  τιμές  της μέσης  ταχύτητας που βρήκαμε, είναι ίσες με  τις  τιμές  της στιγμιαίας  ταχύτητας  του σώματος.

  Έτσι  έχουμε  τη δυνατότητα να συμπληρώσουμε  ένα πίνακα τιμών u-t,της  ταχύτητας  του σώματος σε συνάρτηση με  τον χρόνο κίνησης.

 (Αυτόν  τον πίνακα μπορούμε να  τον φτιάξουμε και με  τη βοήθεια της καμπύλης ψ = f(t) που, επίσης,διαθέτουμε αν βρούμε  την κλίση της σε  αρκετά σημεία).

Η ταχύτητα είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

  Αν με  τη βοήθεια  του προηγούμενου πίνακα χαράξουμε  την καμπύλη υ = f(t) διαπιστώνουμε (θεωρώντας, επίσης, μηδέν  τη χρονική στιγμή που  το σώμα περνά από  τη Θ.Ι. του)  ότι η μορφή  της είναι συνημιτοειδής και επομένως η εξίσωση  της  ταχύτητας του κινητού που εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση  κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:

                                        υ=υmaxσυνωt

                                                      

όπου:

υ η ταχύτητα  του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t  χρoνική στιγμή του κινητού

υmax η μέγιστη τιμή της  ταχύτητας.

  Το σώμα έχει μέγιστη  ταχύτητα όταν περνά από τη θέση 0  ( x =  0).Για τη μέγιστη  ταχύτητα και τη μέγιστη  επιτάχυνση ισχύει:

                                         υmax=ωΑ         

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

  Με ανάλογη διαδικασία, βρίσκοντας από τον πίνακα υ-t τη μεταβολή Δυ της ταχύτητας και διαιρώντας την με το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δt (ή βρίσκοντας την κλίση της καμπύλης υ = f(t) για διάφορες χρονικές στιγμές), θεωρώντας ότι η μέση επιτάχυνση α_μ = Δυ/Δt είναι, με καλή προσέγγιση, ίση με την στιγμιαία, συμπληρώνουμε πίνακα τιμών α-t.

Η επιτάχυνση είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου

  Με τη βοήθεια του προηγούμενου πίνακα χαράζουμε την καμπύλη α = f(t) και διαπιστώνουμε (θεωρώντας και εδώ μηδέν τη χρονική στιγμή που το σώμα περνά από τη Θ.Ι. του) ότι η μορφή της είναι μετατοπισμένη κατά Τ/2 ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου και επομένως η εξίσωση της επιτάχυνσης του κινητού που εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση  κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:                  

                                                   α=-αmaxημωt

υ η ταχύτητα  του κινητού την χρονική στιγμή t

ω η κυκλική συχνότητα

t η χρoνική στιγμή του κινητού

αmαx η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης του σώματος.

  Το σώμα έχει  μέγιστη  επιτάχυνση όταν περνάει από  τα ακραία σημεία Ρ και Ρ'  ( x = Α και x = - Α αντίστοιχα).Για τη μέγιστη  επιτάχυνση ισχύει:

                                             αmax=ω²Α

  Ο πίνακας τιμών της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές είναι:

t	x	υ	α
0	0	υo	0
T/4	A	0	-αo
T/2	0	-υo	0
3·T/4	-A	0	αo
T	0	υo	0

  Παρατηρώντας, τέλος, τις τιμές που παίρνουν τα μεγέθη x, υ και α για ορισμένες χαρακτηριστικές χρονικές στιγμές διαπιστώνουμε ότι:

α) όταν το σώμα περνά από τη Θ.I. του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι ίση με μηδέν, η ταχύτητά του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή) και η επιτάχυνσή του ίση με μηδέν.

β) όταν το σώμα περνά από τις ακραίες θέσεις του, οπότε η απομάκρυνσή του είναι μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή), η ταχύτητά του είναι ίση με μηδέν και η επιτάχυνσή του μεγίστη (κατ' απόλυτη τιμή)

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ

  Στα παρακάτω διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση.

Στα διαγράμματα φαίνεται πώς μεταβάλλεται με το χρόνο η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που κάνει γραμμική αρμονική ταλάντωση

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ

  Οι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt  και α=-αmaxημωt ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με  την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό βρίσκεται στο σημείο Ο και κινείται κατά τη θετική φορά.

Τα διαγράμματα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε μια ταλάντωση με αρχική φάση.

  Αν τη χρονική στιγμή μηδέν το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο,έστω το Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το  0.

  Oι σχέσεις x=Αημωt ,υ=υmaxσυνωt  και α=-αmaxημωt διαφοροποιούνται και γίνονται : 

                             x=Αημ(ωt+φ0)

                                               
                             υ=υmaxσυν(ωt+φ0) 

                                                
                             α=-αmaxημ(ωt+φ0)

 Η  γωνία φ βρίσκεται από την  x=Αημ(ωt+φ) αν  λάβουμε  υπόψη ότι τη  χρονική στιγμή μηδέν  το κινητό βρίσκεται στο Γ.Για t = 0 είναι x = d και η σχέση x=Αημ(ωt+φ) γίνεται d=Αημφ  επομένως  ημφ=d/Α.

 Η  γωνία φ0 ονομάζεται αρχική φάση.Μια τέτοια ταλάντωση λέμε ότι έχει αρχική φάση.

  Η  γωνία  (ωt+φ0) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης.

ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:    

x=Aημωt   

ημωt=x/Α  (1)

Για την ταχύτητα υ έχουμε:   

υ=ωΑσυνωt   

συνωt=υ/ωΑ  (2)

Όμως ισχύει: 

ημω²t+συνω²t=1  (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   

(x/Α)²+(υ/ωΑ)²=1   

x²/Α²+υ²/ω²Α²=1   

ω²x²/ω²Α²+υ²/ω²Α²=1   

ω²x²+υ²/ω²Α²=1   

ω²x²+υ²=ω²Α²   

υ²=ω²Α² - ω²x²  

υ²=ω²(Α² - x²)  

υ=±ω²(Α² - x²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική (υ<0)}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε θέση x η ταχύτητα υ μπορεί να είναι θετική (υ>0) ή αρνητική(υ<0),ανάλογα με τη φορά κίνησης του σώματος.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Λέμε ότι δύο μεγέθη παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ,όταν μεσολαβεί κάποιος χρόνος Δt ανάμεσα σε μία τιμή του ενός (π.χ. τη μέγιστη) και στην αντίστοιχη τιμή του άλλου.

Η διαφορά φάσης αναφέρεται σε δύο μεγέθη που μεταβάλλονται περιοδικά και βρίσκεται από τη διαφορά φάσης των δύο μεγεθών.
Στην περίπτωση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση έχουμε:

Για την απομάκρυνση x έχουμε:    

x=Aημωt   (1) 

Για την ταχύτητα υ έχουμε:   

υ=ωΑσυνωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

συνθ=ημ(π/2-θ)  και 

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2)  υ=ωΑσυνωt  

υ=ωΑημ(π/2 - ωt)  

υ=ωΑημ[π-(π/2 - ωt)] 

υ=ωΑημ(ωt+π/2) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φυ-φx 

Δφ=(ωt+π/2)-ωt 

Δφ=π/2

και προηγείται η ταχύτητα.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η ταχύτητα έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη μέγιστη θετική υ=+ωΑ),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π/2,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:  

  
Δφ=2πΔt/Τ

Δt=ΤΔφ/2π 

Δt=Τ/2π  π/2

Δt=Τ/4 

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

Για την απομάκρυνση x έχουμε:    

x=Aημωt   (1) 

Για την επιτάχυνση α έχουμε:   

α=-ω²Αημωt  

α=-ω²(Αημωt)  

α=-ω² x

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0  α<0 και x<0  α>0)

Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η επιτάχυνση α και η απομάκρυνση x έχουν πάντοτε αντίθετο πρόσημο(x>0  α<0 και x<0  α>0).Με άλλα λόγια η επιτάχυνση έχει πάντοτε φορά προς την θέση ισορροπίας.
Η σχέση α=-ω² x είναι μία εξίσωση ευθείας.Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω² x φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Η γραφική παράσταση της σχέσης α=-ω² x

Από την γραφική παράσταση μπορούμε να υπολογίσουμε το ω² από την κλίση της ευθείας με την εφαπτόμενη της γωνίας θ. 

ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ

Για την ταχύτητα υ έχουμε:   

υ=ωΑσυνωt   

συνωt=υ/ωΑ  (1)

Για την επιτάχυνση α έχουμε:   

α=-ω²Αημωt  

ημωt=-α/ω²Α (2)


Όμως ισχύει: 

ημω²t+συνω²t=1  (3)

Από τις εξισώσεις (1) και (2) με απλή αντικατάσταση στην τελευταία σχέση (3) προκύπτει:

ημω²t+συνω²t=1   

(-α/ω²Α)²+(υ/ωΑ)²=1   

α²/ω⁴Α²+υ²/ω²Α²=1   

α²/ω⁴Α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   

α²+ω²υ²/ω⁴Α²=1   

α²+ω²υ²=ω⁴Α²   

α²=ω⁴Α²-ω²υ²   

α²=ω²(ω²Α²-υ²)   

α=±ω(ω²Α²-υ²)^1/2

^{Το διπλό πρόσημο (}±^{) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα}

Το διπλό πρόσημο (±) στην τελευταία σχέση δηλώνει ότι σε κάθε τιμή υ του μέτρου της ταχύτητας η επιτάχυνση μπορεί να είναι θετική (α>0) ή αρνητική (α<0),ανάλογα με τον ημιάξονα όπου βρίσκεται το σώμα.

^{ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ}

Για την απομάκρυνση x έχουμε:    

x=Aημωt   (1) 

Για την επιτάχυνση α έχουμε:   

α=-ω²Αημωt (2)

Θα χρησιμοποιήσουμε δύο γνωστές βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις:

-ημθ=ημ(-θ) και 

ημθ=ημ(π-θ)

Άρα έχουμε:

(2)  α=-ω²Αημωt  

α=ω²Αημ(-ωt)  

α=ω²Αημ[π-(-ωt)] 

α=ω²Αημ(π+ωt) (3)

Συνεπώς η διαφορά φάσης με την βοήθεια των σχέσεων (1) και (3) είναι:

Δφ=φα-φx 

Δφ=(ωt+π)-ωt 

                                      
Δφ=π

και προηγείται η επιτάχυνση.

Η φυσική σημασία αυτής της διαφοράς είναι ότι όταν κάποια χρονική στιγμή η επιτάχυνση έχει ορισμένη τιμή(π.χ. τη τιμή α=+ω²Α/2),τότε η απομάκρυνση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή (x=+Α/2) μετά από χρόνο Δt που αντιστοιχεί στη γωνία Δφ=π,δηλαδή μετά από χρόνο που δίνεται από την σχέση:  

Δφ=2πΔt/Τ

Δt=ΤΔφ/2π 

Δt=Τ/2π  π

Δt=Τ/2

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΗΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Προσπαθούμε  τώρα να βρούμε από  τι  εξαρτάται η περίοδος  της ταλάντωσης  του σώματος . 

  Για  το σκοπό αυτό: 

α) Αλλάζουμε  το πλάτος  της ταλάντωσης και διαπιστώνουμε,με  τη βοήθεια  του χρονομέτρου,ότι η περίοδος δεν αλλάζει. 

β) Αλλάζουμε  τη μάζα  του σώματος (τοποθετώντας άλλο στη θέση του αρχικού) και διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος αλλάζει.Μεγαλώνει όταν η μάζα  του σώματος μεγαλώνει και μικραίνει όταν μάζα μικραίνει.

 Με προσεκτικές, μάλιστα, μετρήσεις είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η μάζα μεγαλώνει (ή μικραίνει)  4 , 9 , 16 . .. φορές, η περίοδος μεγαλώνει (ή μικραίνει) 2,  3 ,4 ... φορές. 

γ) Αλλάζουμε  το ελατήριο και διαπιστώνουμε ότι η περίοδος αλλάζει. Μικραίνει όταν η σταθερά  τ ου ελατηρίου μεγαλώνει και μεγαλώνει όταν η σταθερά μικραίνει. 

Η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

  Με προσεκτικές,μάλιστα, μετρήσεις, είναι δυνατόν να βρούμε ότι όταν η σταθερά  του ελατηρίου μεγαλώνει (ή μικραίνει) 4, 9, 16 ... φορές,η περίοδος μικραίνει (ή μεγαλώνει) 2, 3, 4 ... φορές.

 Επομένως η περίοδος σώματος δεμένου στο άκρο ελατηρίου εξαρτάται από τη μάζα του σώματος και το είδος του ελατηρίου και μάλιστα: 

α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της μάζας του σώματος και 

β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της σταθεράς του ελατηρίου

 Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι η περίοδος δίνεται από  τη σχέση:

                                                                     T = 2·π·√mk    

που επιβεβαιώνει  τα συμπεράσματα που πειραματικά προέκυψαν.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

  Όπως είπαμε η επιτάχυνση του κινητού που εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση  κάθε στιγμή δίνεται από την σχέση:                                          

                                            α=-αmaxημωt όπου αmax=ω²Α

Η γραφική παράσταση της συνολικής συνισταμένης των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση με το χρόνο t

  Η συνολική συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σ' ένα σώμα μάζας m,όταν αυτό εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση,δίνεται από τον νόμο της Μηχανικής

F=mα 

F=m(-αmaxημωt) 

F=-mω²Αημωt 

                                             F=-F0ημωt

όπου:
F η δύναμη μία χρονική στιγμή t.
F0=-mω²Α το πλάτος της δύναμης.

ΣΧΕΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗΣ

  Γνωρίζουμε ότι σ΄ένα σώμα που ηρεμεί,ασκηθούν μια ή περισσότερες σταθερές δυνάμεις,αυτό θα κινηθεί κατά την διεύθυνση της συνισταμένης,κάνοντας ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.Πρέπει τώρα να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά που έχει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων σ' ένα σώμα που εκτελεί απλή  αρμονική ταλάντωση.

Η φορά της δύναμης στην απλή αρμονική ταλάντωση.Το σώμα όταν περνά από τη θέση ισορροπίας η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

 Όπως έχουμε αναφέρει αν ένα κινητό μάζας m εκτελεί απλή αρμονική  ταλάντωση σε μια τυχαία θέση έχει  επιτάχυνση α,ανεξάρτητη από τη φορά της ταχύτητας.Από τον νόμο του Νεύτωνα η συνολική δύναμη που δέχεται  το σώμα και είναι υπεύθυνη για  την  επιτάχυνσή  του είναι:

                                              F=mα

  Η σχέση F=mα γίνεται από  την α=-αmaxημωt 

F=mα  

F=-mαmaxημωt  

F=-mω²Αημωt

 Όμως γνωρίζουμε ότι απομάκρυνση x στην απλή  αρμονική ταλάντωση έχει εξίσωση x=Αημωt.Άρα  η  τελευταία σχέση F=-mω²Αημωt γίνεται:

F=-mω²Αημωt  

F=-mω²x

  Αν το σταθερό γινόμενο mω² το συμβολίσουμε με D  η  παραπάνω σχέση F=-mω²x  γράφεται:

 F=-mω²x   

                                       F=-Dx 

 Από τη σχέση αυτή συμπεραίνουμε ότι για να εκτελέσει ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η δύναμη ή η συνισταμένη των δυνάμεων κατά τη διεύθυνση της κίνησής του να είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από το μέσο Ο της τροχιάς του και να έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν.Για το λόγο αυτό,το σημείο Ο ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. 

Όταν το σώμα περνά από το σημείο Ο η συνολική δύναμη που δέχεται ισούται με μηδέν

 Η σχέση F=-Dx είναι η συνθήκη για την παραγωγή απλής αρμονικής  ταλάντωσης.
 Η δύναμη F που περιγράφει αυτή η σχέση ονομάζεται δύναμη  επαναφοράς γιατί ασκείται στο σώμα έτσι ώστε να το επιταχύνει πάντα προς την κατεύθυνση της θέσης ισορροπίας.

Σύμφωνα με τη σχέση F=-Dx για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0   F<0 , x<0   F>0)

   Η σχέση F=-Dx είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση.Σύμφωνα με τη σχέση αυτή,για να εκτελεί ένα σώμα απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων F που ασκούνται σ' αυτό:

α) Να έχει ως σταθερό φορέα την ευθεία κίνησης του κέντρου μάζας του σώματος.
β) Να έχει τέτοια φορά,ώστε να τείνει πάντοτε να επαναφέρει το σώμα στη θέση ισορροπίας (x>0F<0,x<0F>0).Γι' αυτό όπως είπαμε,είναι γνωστή ως δύναμη  επαναφοράς. 
γ) Να έχει μέτρο ανάλογο με το μέτρο της απομάκρυνσης του σώματος.
   Η γραφική παράσταση της σχέσης  F=-Dx φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Γραφική παράσταση της δύναμης  επαναφοράς F με την απομάκρυνση x 

 Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά  επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική  ταλάντωση.

Η σταθερά αναλογίας D ονομάζεται σταθερά  επαναφοράς.Η τιμή της εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος που εκτελεί απλή αρμονική  ταλάντωση

  Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση εκφράζει το γεγονός ότι η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση έχουν πάντα αντίθετη φορά.

 Η σταθερά  επαναφοράς επηρεάζει την περίοδο του συστήματος.Αν σε κάποια  ταλάντωση είναι γνωστή η σταθερά  επαναφοράς, μπορούμε  να  υπολογίσουμε  την περίοδο της. 

  Από τη σχέση  D=mω² έχουμε: 

D=mω²   

D=(2π/Τ)²  

D=m4π²/Τ² 

                                                  ____                                       
                                      Τ=2π√m/D

ΟΛΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

  Τώρα θα πρέπει να μελετήσουμε την ενέργεια ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση καθώς και τις μεταβολές της.Για να αποφύγουμε τα προβλήματα που είναι δυνατόν να προκύψουν κατά την εξέταση πολύπλοκων συστημάτων,θα εξετάσουμε το απλούστερο,που όπως είναι γνωστό είναι το πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή.

Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m

  Θεωρούμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή του παραπάνω σχήματος,όπου το ελατήριο έχει σταθερά K και το σώμα έχει μάζα m.Στην θέση ισορροπίας το σώμα είναι ακίνητο,ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος L0.

Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x

  Ασκούμε στο σώμα δύναμη F παράλληλη προς τον άξονα x και το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του κατά x,δηλαδή το φέρνουμε στη θέση L0-x.

Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής

  Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας παίρνουμε:

ΣW=K(τελ)-Κ(αρχ)  

WF+WF=0-0 

WF-1/2 Κ Α²=0 

                                                        WF=1/2 Κ Α²

  Άρα από την τελευταία σχέση βλέπουμε ότι επειδή η μάζα m είναι πρακτικά ασυμπίεστη,όλη η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης ,αποθηκεύεται στο ελατήριο με την μορφή δυναμικής ενέργειας.Την ενέργεια αυτή ονομάζουμε ενέργεια της ταλάντωσης και δίνεται από την σχέση:

                                                            Εολ=1/2 Κ Α²

 Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Εολ=1/2 Κ Α² έχει τη μορφή:

                                      Εολ=1/2 D Α²

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

   Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο,αυτό θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α.Αν πάρουμε σαν αρχή των αξόνων (t=0) την χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας Ο,τότε η απομάκρυνση και η ταχύτητα του δίνονται από τις σχέσεις:

                                              x=Aημωt    (1)

                                              υ=ωΑσυνωt   (2)

  Η κινητική ενέργεια του σώματος στην τυχαία θέση της τροχιάς ,στην οποία έχει στιγμιαία ταχύτητα υ,δίνεται από την σχέση:

                                                           Κ=1/2 mυ²

 και ονομάζεται κινητική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max)

  Το σώμα,σε μια τυχαία θέση,έχει κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²συν²ωt=1/2mω²Α²συν²ωt

  Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του το σώμα έχει ταχύτητα υ=0 και αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ=0.

  Στη θέση ισορροπίας Ο το σώμα έχει τη μέγιστη ταχύτητα του υ=υmax=±ωΑ και άρα και μέγιστη κινητική ενέργεια Κ=Κ(max).
   Άρα στη θέση ισορροπίας το σώμα έχει  κινητική ενέργεια:

Κ=1/2mυ²=1/2mυmax²=1/2m(±ωΑ)²=1/2mω²Α²

  Όμως γνωρίζουμε ότι  mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

   Συνεπώς η τελευταία σχέση Κ=1/2mω²Α² γίνεται:

Κ=1/2mω²Α²     

Κ(max)=1/2 Κ Α² 

Κ(max)=Εολ 

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ

  Όπως είναι γνωστό σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα υ και η απομάκρυνση x συνδέονται με τη σχέση:

              ____

υ=±ω√Α² - x²

 Όμως mω²=D και στην περίπτωση του πρότυπου απλού αρμονικού ταλαντωτή D=Κ.

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x)

   Άρα η κινητική ενέργεια του σώματος δίνεται από την σχέση:                                                                                    

Κ=1/2mυ² 

Κ=1/2mω²(Α² - x²) 

Κ=1/2mω²Α² - 1/2mω²x² 

                                                   Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx²

 Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση Κ=1/2ΚΑ² - 1/2Κx² γράφεται :

                                 Κ=1/2DΑ² - 1/2Dx²

  Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(x) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

   Η κινητική ενέργεια,την τυχαία χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

Κ=1/2mυ²  

Κ=1/2m(υmaxσυνωt)² 

Κ=1/2mυ²συν²ωt 

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt

  Όμως γνωρίζουμε ότι mω²=D.
  Άρα η τελευταία σχέση γίνεται:

Κ=1/2mω²Α²συν²ωt  

Κ=1/2DΑ²συν²ωt  

                           Κ=Εολσυν²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t)

   Η γραφική παράσταση της σχέσης Κ=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το μπλε χρώμα:

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

  Θεωρούμε ότι στη θέση Ο το σώμα έχει δυναμική ενέργεια μηδέν.Σε κάθε άλλη θέση θα έχει δυναμική ενέργεια.

  Αν υποθέσουμε ότι  το σώμα είναι ακίνητο και βρίσκεται στο σημείο Ο,για να μετακινηθεί στη θέση Δ, που απέχει απόσταση x από τη θέση ισορροπίας,πρέπει  να  του ασκηθεί  δύναμη  F' τέτοια ώστε  να εξουδετερώνει τη  δύναμη επαναφοράς F. Το μέτρο αυτής  της  δύναμης, σε κάθε θέση, θα είναι:

F'=Dx   

  Το έργο της δύναμης F' υπολογίζεται από τη γραφική παράσταση F'=f(x),και είναι  W=1/2Dx².

 Για να μετατοπιστεί κατά x, στο σώμα ασκούμε δύναμη F'=Dx. Το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ του διαγράμματος και του άξονα των x είναι αριθμητικά ίσο με το έργο που απαιτήθηκε για τη μετατόπιση

 Το έργο της δύναμης  F' αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια στο σύστημα,  επομένως:

                                                U=1/2Dx²

  Άρα η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στην τυχαία θέση της τροχιάς του σώματος δίνεται από την σχέση:

                                                        U=1/2Kx²

και ονομάζεται δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης.

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση

  Γενικότερα,όταν η σταθερά επαναφοράς είναι D,η σχέση U=1/2Kx² γράφεται:

                                                        U=1/2Dx²

  Στη θέση ισορροπίας Ο,η απομάκρυνση είναι x=0 και η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια είναι U=0.

Η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το  χρόνο

 Στις ακραίες θέσεις Α και Α' της τροχιάς του,το σώμα έχει τη μέγιστη απομάκρυνση του x=±x0  και η δυναμική ενέργεια είναι:

U=1/2Kx²  

U(max)=1/2KΑ²  

U(max)=Εολ

  Από τις σχέσεις Κ(max)=Εολ και U(max)=Εολ συμπεραίνουμε ότι: 

                                                           Εολ=Κ(max)=U(max)

 Όμως γνωρίζουμε ότι D=mω² και x=Αημωt οπότε η  σχέση U=1/2Dx² γίνεται: 

                                                 U=1/2mω²Α²ημ²ωt

  Από τις σχέσεις  Κ=1/2mΑ²ω²συν²ωt και U=1/2mω²Α²ημ²ωt προκύπτει ότι η κινητική και η δυναμική ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλονται περιοδικά με το  χρόνο.

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

  Η ενέργεια  ταλάντωσης  του συστήματος σε μια τυχαία θέση δίνεται από τη σχέση:

                                                 Ε=Κ+U

η οποία από τις Κ=1/2mω²Α²συν²ωt και  U=1/2mω²Α²ημ²ωt  γίνεται:

Ε=Κ+U=

1/2mω²Α²συν²ωt +1/2mω²Α²ημ²ωt=

1/2mω²Α²(συν²ωt+ημ²ωt)=

1/2mω²Α²=1/2DΑ²

                                    

                             Ε=1/2DΑ²=1/2mω²Α²=1/2mυmax²

Στο διάγραμμα παριστάνονται η κινητική, η δυναμική και η συνολική ενέργεια της ταλάντωσης, σε συνάρτηση με το χρόνο

  Συνεπώς η  ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη με  το  τετράγωνο  του πλάτους.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΣ

   Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου,την τυχούσα χρονική στιγμή t,δίνεται από την σχέση:

U=1/2Kx²  

U=1/2K(Αημωt)²  

U=1/2KΑ²ημ²ωt  

                                  U=Εολημ²ωt

Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t)

  Η γραφική παράσταση της σχέσης U=f(t) φαίνεται στο παραπάνω σχήμα με το πορτοκαλί χρώμα.

ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ


   Στην αρχή ο άνθρωπος μετρούσε το χρόνο με τη φαινομενική κίνηση του ήλιου,της σελήνης,των πλανητών και των άστρων.Υπήρχαν ηλιακά ρολόγια,ρολόγια νερού και κεριά σημαδεμένα έτσι,ώστε να λιώνουν ανάλογα με τα λεπτά του χρόνου.

Το Ηλιακό ρολόι είναι μία συσκευή που μετρά το χρόνο από την σκιά που ρίχνει ο ήλιος πάνω σε ένα αντικείμενο. Τα ηλιακά ρολόγια είναι ο αρχαιότερος τύπος ρολογιών. Επινοήθηκαν από τους Χαλδαίους περί το 2000 π.Χ. και από αυτούς διαδόθηκαν σε όλους τους λαούς του αρχαίου κόσμου

  Το Ηλιακό ρολόι είναι μία συσκευή που μετρά το χρόνο από την σκιά που ρίχνει ο ήλιος πάνω σε ένα αντικείμενο. Τα ηλιακά ρολόγια είναι ο αρχαιότερος τύπος ρολογιών. Επινοήθηκαν από τους Χαλδαίους περί το 2000 π.Χ. και από αυτούς διαδόθηκαν σε όλους τους λαούς του αρχαίου κόσμου.

Πρώτος που μελέτησε την αιώρηση του εκκρεμούς ήταν ο Γαλιλαίος

   Πρώτος που μελέτησε την αιώρηση του εκκρεμούς ήταν ο Γαλιλαίος.Διέκρινε ότι η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος.

To εκκρεμές ρολόι που σχεδιάστηκε από Galileo Galilei γύρω στο 1637

   Ο Γαλιλαίος θεωρούσε ότι η περίοδος του εκκρεμούς ήταν ανεξάρτητη της γωνίας από την οποία άρχιζε η ταλάντωση.

To εκκρεμές ρολόι του Galileo Galilei 

   Το 1657,δέκα χρόνια μετά το θάνατο του Γαλιλαίου ο Ολλανδός αστρονόμος και φυσικός Christian Huygens,κυκλοφόρησε το βιβλίο του με τίτλο "Horologium",στο οποίο περιέγραψε την κατασκευή ενός ρολογιού μεγαλύτερης ακρίβειας.

Το ρολόι εκκρεμές από τον Christiaan Huygens το 1673

  Η ανακάλυψη του Huygens προκάλεσε μεγάλη ανάπτυξη και εξάπλωση στην κατασκευή ρολογιών.Ρολόγια με μικρά εκκρεμή τοποθετήθηκαν πάνω σε ξύλο και κρεμάστηκαν στον τοίχο.

Το πρωτότυπο εκκρεμές του Kater το 1818 

   Το 1670 ο Άγγλος ωρολογοποιός William Clement κατασκεύασε το πρώτο ρολόι με μακρύ εκκρεμές,που μετρούσε και δευτερόλεπτα,τοποθετημένο σε μακρύ ξύλινο κουτί.

Το εκκρεμές του Φουκώ

  Το εκκρεμές του Φουκώ είναι εκκρεμές με δυνατότητα ελεύθερης εκτέλεσης ταλαντώσεων. Η ελεύθερη μεταβολή του επιπέδου κίνησης του εκκρεμούς αποδεικνύει την κίνηση της γης.

Η κίνηση του εκκρεμούς του Φουκώ όπως φαίνεται από σταθερό σημείο έξω από τη Γη

 Την ονομασία του την πήρε από τον Γάλλο φυσικό Ζαν Μπερνάρ Λεόν Φουκώ που το πρωτοπαρουσίασε στο Παρίσι. Στους περισσότερους έγινε γνωστό από το ομώνυμο μυθιστόρημα του Ουμπέρτο Έκο.

Το πείραμα αυτό το παρουσίασε για πρώτη φορά το Φεβρουάριο του 1851, στη Μεσημβρινή Αίθουσα του Αστεροσκοπείου του Παρισιού ο Φουκώ

  Το πείραμα αυτό το παρουσίασε για πρώτη φορά το Φεβρουάριο του 1851, στη Μεσημβρινή Αίθουσα του Αστεροσκοπείου του Παρισιού ο Φουκώ. Το πείραμα επαναλήφθηκε μετά από μερικές εβδομάδες στο Πάνθεον του Παρισιού. Το 1851 ήταν πλέον αρκετά γνωστό ότι η γη κινείται, όμως το εκκρεμές του Φουκώ ήταν η πρώτη δυναμική απόδειξη.

ΦΥΣΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

 Το στερεό σώμα,μία μεταλλική πλάκα,που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα,μπορεί να στρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα,που δεν περνάει από το κέντρο βάρους του,και να ταλαντώνεται περί τη θέση ισορροπίας του.

Φυσικό εκκρεμές

  Ένα τέτοιο σώμα ονομάζεται φυσικό εκκρεμές.Το κινητό στέλεχος του μετρονόμου είναι επίσης ένα φυσικό εκκρεμές.

Το κινητό στέλεχος του μετρονόμου είναι ένα φυσικό εκκρεμές

  Η ταλάντωση του φυσικού εκκρεμές οφείλεται στη ροπή του Βάρους του mg ως προς τον άξονα περιστροφής.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

  Το απλό εκκρεμές  είναι μια ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m κρεμασμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l  το άλλο άκρο  του οποίου  είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο.

Το απλό εκκρεμές  είναι μια ιδανική διάταξη που αποτελείται από ένα σώμα Σ μάζας m κρεμασμένο στο ένα άκρο αβαρούς νήματος μήκους l  το άλλο άκρο  του οποίου  είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο

    Το απλό εκκρεμές ονομάζεται και μαθηματικό εκκρεμές.

Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα σώμα κρεμασμένο από  αβαρές νήμα που το άλλο άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σ' ένα σταθερό σημείο

 Για να κατασκευάσουμε ένα απλό εκκρεμές χρησιμοποιούμε σώμα μικρό,σφαιρικό και συμπαγές και νήμα λεπτό και σκληρό γιατί θέλουμε  το σώμα κατά  την κίνηση  του να μη συναντά δυνάμεις από  τον αέρα καθώς και  το νήμα να είναι αβαρές και μη εκτατό, χρησιμοποιούμε σώμα μικρό,σφαιρικό και συμπαγές και νήμα λεπτό και σκληρό.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

  Η απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο της σφαίρας ονομάζεται μήκος l του απλού εκκρεμούς.

Η απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο της σφαίρας ονομάζεται μήκος l του απλού εκκρεμούς

   Η γωνία θ,κατα την οποία απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του,ονομάζεται πλάτος του απλού εκκρεμούς.

Η γωνία θ,κατα την οποία απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του,ονομάζεται πλάτος του απλού εκκρεμούς

   Η κίνηση του εκκρεμούς από το σημείο Β στο σημείο Β' και η επιστροφή του από το Β' στο Β ονομάζεται μια ταλάντωση.

Η κίνηση του εκκρεμούς από το σημείο Β στο σημείο Β' και η επιστροφή του από το Β' στο Β ονομάζεται μια ταλάντωση

   Για την περίοδο και την συχνότητα του απλού εκκρεμούς ισχύουν τα ίδια με τις ταλαντώσεις.

ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

 Αρχικά το σώμα  ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του Ο.

Αρχικά το σώμα  ηρεμεί στη θέση ισορροπίας του

  Στη συνέχεια απομακρύνουμε  το σώμα από  τη θέση ισορροπίας του.Τότε το νήμα θα σχηματίσει με  τη αρχική  του θέση γωνία φ.

Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας,εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις

  Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας,εκτελεί ταλάντωση ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις.

Η χρονοφωτογραφία δείχνει τις διαδοχικές θέσεις του απλού εκκρεμούς όταν ταλαντώνεται ελεύθερα

  Αν απομακρύνουμε το σώμα λίγο από τη θέση ισορροπίας του τότε εξαιτίας της μιας συνιστώσας του βάρους αυτό θέλει να επιστρέψει στην αρχική του θέση. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση έχει ήδη ταχύτητα και έτσι, αντί να σταματήσει, συνεχίζει περνώντας στην άλλη πλευρά.

Η δύναμη επαναφοράς είναι το βάρος του σώματος

  Η κίνηση, αν δεν υπάρχουν τριβές, επαναλαμβάνεται συνεχώς. Αυτή η κίνηση είναι η ταλάντωση του εκκρεμούς και μοιάζει πολύ με την κίνηση μιας παιδικής κούνιας (με κάποιες διαφοροποιήσεις).Εξαιτίας της x-συνιστώσας του βάρους, το σώμα εκτελεί ταλάντωση.

Σε κάθε θέση η x-συνιστώσα του βάρους τράβα το σώμα προς τη θέση ισορροπίας με αποτέλεσμα το σώμα εκτελεί ταλάντωση

 Η δύναμη επαναφοράς είναι το βάρος του σώματος.Εφόσον το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση, η κίνησή του περιγράφεται από την περίοδο ,τη συχνότητα και το πλάτος.Πειραματικά προκύπτει ότι η περίοδος του εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη της μάζας του.

Μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική και αντίστροφα  σε ένα εκκρεμές

  Αυτή η  ταλάντωση μπορεί, με καλή προσέγγιση, να θεωρηθεί γραμμική όταν η γωνία  φ είναι ικανοποιητικά μικρή (φ < 3°), οπότε το  τόξο ΑΟΒ μπορεί να θεωρηθεί  ευθύγραμμο και να  ταυτιστεί με  τη χορδή ΑΒ.

Η κίνηση ενός εκκρεμούς που δείχνει την φορά της ταχύτητας και την επιτάχυνσης

  Σε μια  τέτοια περίπτωση αποδεικνύεται,με καλή προσέγγιση επίσης,ότι η γραμμική  ταλάντωση  είναι και αρμονική.

Στην πραγματικότητα απλό  εκκρεμές δεν υπάρχει στη φύση

 Στην πραγματικότητα απλό  εκκρεμές δεν υπάρχει στη φύση.Άρα μόνο  για κάποια, μικρή έως μεγάλη, προσέγγισή  του μπορούμε να μιλάμε σε μερικές περιπτώσεις όπως:
α) ένα κεράσι που κινείται κρεμασμένο από  το κοτσάνι  του, 
β) ένα στρογγυλό σώμα που πηγαινοέρχεται κρεμασμένο με αλυσίδα σ'  ένα ρολόϊ  τοίχου, 
γ) ένας ακροβάτης που  εκτελεί  το ακροβατικό  του σ'  ένα  τσίρκο,
δ) ένας σάκκος που χρησιμοποιείται από έναν παλαιστή για  την προπόνηση, 
ε) ένα παιδί που «κάνει» κούνια σε μια παιδική χαρά, 
στ) ένας πίθηκος που χρησιμοποιεί  ένα χορτόσκοινο  για να περάσει από ένα δέντρο στο διπλανό  του.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

  Για να βρούμε την περίοδο Τ του απλού εκκρεμούς,αρκεί με ένα χρονόμετρο να μετρήσουμε τη χρονική διάρκεια πολλών ταλαντώσεων και μετά να κάνουμε διαίρεση.

Για να βρούμε την περίοδο Τ του απλού εκκρεμούς,αρκεί με ένα χρονόμετρο να μετρήσουμε τη χρονική διάρκεια πολλών ταλαντώσεων και μετά να κάνουμε διαίρεση

   Για παράδειγμα για 20 ταλαντώσεις μετρήσουμε χρόνο 40 sec,η περίοδος του εκκρεμούς θα είναι:

Τ=40 sec/20=2sec

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

   Για ν' αποδείξουμε,τώρα,ότι η  ταλάντωση ενός απλού εκκρεμούς  είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση θεωρούμε  το σώμα σε μια  τυχαία θέση Γ  της  τροχιάς  του, όπου η απομάκρυνσή  του  είναι x και  το νήμα σχηματίζει γωνία φ με  την κατακόρυφη.Λόγω  της μικρής γωνίας η απομάκρυνση x  ταυτίζεται με  το τόξο ΓΟ.

Οι δυνάμεις βάρος και τάση του νήματος υποχρεώνουν το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση

   Το σώμα στη θέση αυτή  δέχεται δυο δυνάμεις:
α) την  τάση Τ  του νήματος και  
β) το βάρος  του Β.

Η ανάλυση της κίνησης του εκκρεμούς

 Για να βρούμε  τη συνισταμένη των δυο προηγουμένων δυνάμεων αναλύουμε πρώτα  το βάρος Β σε δυο συνιστώσες:  
α) την ΒΠ πάνω στη διεύθυνση  του νήματος και  
β) την Βκ κάθετα μ' αυτήν.

Η κίνηση  του απλού εκκρεμούς  είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση

 Οι δυνάμεις Τ και Βκ  εξουδετερώνονται.Συνεπώς συνισταμένη Fολ των δυνάμεων Τ και Β  είναι η Β η οποία:

α) έχει φορά προς τη Θ.Ι. και μέτρο F_oλ = Β·ημφ ή επειδή Β = m·g και ημφ = x/l.

β)

F_ολ = m·gℓ·x   

  Συνεπώς ικανοποιούνται οι απαραίτητες προϋποθέσεις.Άρα η κίνηση  του σώματος  είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση.

ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

  Για να βρούμε από  τι  εξαρτάται η περίοδος  ενός απλού εκκρεμούς πραγματοποιούμε  τα παρακάτω πειράματα: 

ΠΕΙΡΑΜΑ ΠΡΩΤΟ

  Αλλάζουμε  το πλάτος,άρα και  τη γωνία μέγιστης απόκλισης φ,και διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος δεν αλλάζει.

Πειραματικές μετρήσεις για διάφορες γωνίες

   Πιο συγκεκριμένα απομακρύνουμε το εκκρεμές από την θέση ισορροπίας του κατά μικρή γωνία(π.χ. 3°).Μετράμε την περίοδο του και βρίσκουμε ότι είναι περίπου ίση με 1,95 sec.Επαναλαμβάνουμε το πείραμα με διαφορετικό πλάτος και βρίσκουμε πάλι την ίδια περίοδο 1,95 sec.

Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος του,όταν αυτό παίρνει μικρές τιμές

  Επομένως:
  Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το πλάτος του,όταν αυτό παίρνει μικρές τιμές.

ΠΕΙΡΑΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ

  Αλλάζουμε  το υλικό κατασκευής  του σώματος,άρα και  την πυκνότητα. Διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος δεν αλλάζει.Επίσης αλλάζουμε  τη μάζα  του σώματος και διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος δεν αλλάζει.  

Αλλάζουμε  το υλικό κατασκευής  του σώματος διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος δεν αλλάζει

   Πιο συγκεκριμένα μετράμε την περίοδο ενός εκκρεμούς το οποίο η μάζα του αποτελείται από σίδηρο και βρίσκουμε ότι είναι περίπου ίση με 1,95 sec.Στο ίδιο εκκρεμές αντικαθιστούμε τη μάζα του από ξύλο.Μετράμε την περίοδο του εκκρεμούς και βρίσκουμε ότι είναι πάλι περίπου ίση με 1,95 sec.Παρατηρούμε ότι τα δυο εκκρεμή έχουν το ίδιο μήκος και οι σφαίρες τους αποτελούνται από διαφορετικό υλικό και έχουν διαφορετική μάζα.

Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το υλικό και τη μάζα της σφαίρας του,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό

    Άρα:
     Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι ανεξάρτητη από το υλικό και τη μάζα της σφαίρας του,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.

ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΡΙΤΟ

   Αλλάζουμε  το μήκος  του  εκκρεμούς και διαπιστώνουμε  ότι η περίοδος αλλάζει και μάλιστα όταν  το μήκος μεγαλώνει,μεγαλώνει και η περίοδος ενώ όταν  το μήκος μικραίνει η περίοδος μικραίνει επίσης.

Μετράμε την περίοδο τριών εκκρεμών με διαφορετικό μήκος

  Μετράμε την περίοδο τριών εκκρεμών με διαφορετικό μήκος και βρίσκουμε περίπου τις τιμές που αναγράφονται στο παρακάτω πίνακα τιμών περιόδου-μήκους (Τ-l).

T (s)	ℓ (m)
0,65	0,1
1,30	0,4
1,95	0,9

Τιμές περιόδου-μήκους που βρέθηκαν πειραματικά

   Στο πίνακα αυτό των τιμών παρατηρούμε τα εξής.Όταν το μήκος l του εκκρεμούς τετραπλασιάζεται (40 cm=4 10 cm),η περίοδος του Τ διπλασιάζεται  (1,30 sec = 2 65 sec).Όταν το μήκος l του εκκρεμούς εννεαπλασιάζεται (90 cm=9 10 cm),η περίοδος του Τ τριπλασιάζεται  (1,95 sec = 3 65 sec).

Όταν ένα εκκρεμές έχει μεγάλο μήκος έχει μεγαλύτερη περίοδο από άλλο εκκρεμές με μικρότερο μήκος

  Όταν ένα εκκρεμές έχει μεγάλο μήκος έχει μεγαλύτερη περίοδο από άλλο εκκρεμές με μικρότερο μήκος.Τα εκκρεμή που έχουν ίδιο μήκος έχουν την ίδια περίοδο ταλάντωσης.Αυτήν την ιδιότητα του εκκρεμούς οι μηχανικοί την χρησιμοποιούν για να κατασκευάσουν χρονόμετρα.

Η περίοδος του απλού εκκρεμούς,σε έναν ορισμένο τόπο,είναι ανάλογη προς τη τετραγωνική ρίζα του μήκους της

   Επομένως:

  Η περίοδος του απλού εκκρεμούς,σε έναν ορισμένο τόπο,είναι ανάλογη προς τη τετραγωνική ρίζα του μήκους της.

ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ

  Αν μετρήσουμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στον ισημερινό της Γης (g=9,78 m/s²),θα βρούμε ότι είναι π.χ. περίπου Τ=1,1905 sec.Αν ξαναμετρήσουμε την περίοδο του ίδιου εκκρεμούς στην Αθήνα (g=9,80 m/s²),θα βρούμε ότι είναι περίπου Τ=1,1905 sec και αν επαναλάβουμε τη μέτρηση στον πόλο της Γης (g=9,83 m/s²),θα βρούμε περίπου Τ=1,1900 sec.Από τις μετρήσεις αυτές παρατηρούμε ότι η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς,μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας  g.

Μετράμε την περίοδο ενός εκκρεμούς στον πόλο της Γης

  Με ακριβείς μετρήσεις αποδεικνύεται ότι:
    Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό.

Η περίοδος του απλού εκκρεμούς είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας g,όταν το μήκος του παραμένει σταθερό

  Αυτό σημαίνει ότι,όταν τετραπλασιάζεται το g,η περίοδος του εκκρεμούς γίνεται ίση με το μισό της αρχικής (υποδιπλασιάζεται κ.τ.λ.).

Η περίοδος ενός απλού εκκρεμούς,μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας  g

  Η διαδικασία που ακολουθήσαμε είναι πολύ δύσκολη και κουραστική.Γι' αυτό μπορούμε να επαληθεύσουμε ποιοτικά το νόμο αυτό με τη πειραματική διάταξη που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
 Τοποθετούμε κάτω από  το  εκκρεμές ,το σφαιρίδιο του οποίου  έχουμε φροντίσει να  είναι από σίδηρο,ένα ηλεκτρομαγνήτη.

Ο ηλεκτρομαγνήτης αυξάνει φαινομενικά το βάρος του σφαιριδίου

   Όταν ο ηλεκτρομαγνήτης  διαρρέεται από ρεύμα ,η  τιμή  του οποίου καθορίζει και  το πόσο ισχυρός είναι,έλκει  το σώμα και προκαλεί φαινομενική αύξηση  του βάρους  του άρα και  της επιτάχυνσης της βαρύτητας.
  Όταν μετρήσουμε την περίοδο του εκκρεμούς,πρώτα χωρίς την επίδραση του ηλεκτρομαγνήτη και ύστερα με τη επίδραση του ηλεκτρομαγνήτη από κάτω,θα διαπιστώσουμε ότι στη δεύτερη περίπτωση η περίοδος είναι μικρότερη.

Η περίοδος του εκκρεμούς μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g

   Επομένως:
  Η περίοδος του εκκρεμούς μικραίνει,όταν αυξάνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ ΑΠΛΟΥ ΕΚΚΡΕΜΟΥΣ

  Από τους τέσσερις αυτούς νόμους του απλού εκκρεμούς,δηλαδή τα συμπεράσματα που βγάλαμε από τα πειράματα, και από άλλα, μεγαλύτερης ακρίβειας, πειράματα συμπεραίνουμε ότι η περίοδος απλού εκκρεμούς: 
α) είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και 
β) αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας.

Από τους τέσσερις αυτούς νόμους του απλού εκκρεμούς συμπεραίνουμε ότι η περίοδος απλού εκκρεμούς είναι ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα του μήκους του και αντίστροφα ανάλογη με την τετραγωνική ρίζα της επιτάχυνσης της βαρύτητας 

   Η γενική σχέση της περιόδου είναι:

                                                                    T = 2·π·√mD

   
  Η σταθερά επαναφοράς είναι:

                                                                    D = m·gℓ

   Για να βρούμε, τώρα,  τη μαθηματική έκφραση  της περιόδου αντικαθιστούμε στη γενική σχέση της περιόδου την τιμή που προκύπτει για  τη σταθερά επαναφοράς και βρίσκουμε:

  Από την τελευταία σχέση μπορούν να προκύψουν και θεωρητικά τα ίδια συμπεράσματα μ' αυτά που πειραματικά προέκυψαν.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

  Για να μετράμε το χρόνο χρησιμοποιούμε τα ρολόγια,που περιέχουν ένα κατάλληλο σύστημα,ικανό να εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις με σταθερή και γνωστή περίοδο.Η μέτρηση του χρόνου στηρίζεται στο γεγονός ότι οι αιωρήσεις μικρού πλάτους είναι ισόχρονες.

Σε πολλά ρολόγια τοίχου,το ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα φυσικό εκκρεμές

   Σε πολλά ρολόγια τοίχου,το ταλαντούμενο σύστημα είναι ένα φυσικό εκκρεμές,ενώ στα ρολόγια χεριού ή τσέπης είναι ένας αιωρητής.

Ανδρικό Ρολόι Χειρός από Χαλαζία

   Εκτός από αυτά τα ρολόγια υπάρχουν σήμερα και τα ηλεκτρονικά ρολόγια από χαλαζία που μετρούν το χρόνο με μεγάλη ακρίβεια,γιατί έχουν και σταθερή περίοδο,περίπου ίση με 1/60.000 sec.

Πρωτότυπο ρολόι χειρός από χαλαζία, CEH Ελβετία, 1967

   Το 1969 κατασκευάστηκε το πρώτο εμπορικό ρολόι μπαταρίας με χαλαζία που χρησιμοποιούσε επίσης ένα μικροσκοπικό ολοκληρωμένο κύκλωμα (ΙC) για να μεταδώσει κίνηση στους δείκτες.

Σήμερα πολλά ρολόγια με χαλαζία έχουν ψηφιακή ένδειξη

 Σήμερα είναι πολύ δημοφιλής για την χρησιμοποίησή του σε ρολόγια τα οποία φέρουν και το λογότυπο Quartz.Τώρα πολλά ρολόγια με χαλαζία έχουν ψηφιακή ένδειξη και δεν χρησιμοποιούν καθόλου κινητά μέρη.